※ 引述《wavek (狗猫猫 m(OvO)m)》之铭言： : 近来有个小疑惑 : 说来都过了这麽久才有(或是说还有)这个疑惑 : 真的满惨的我 = =" : 就是有限元素法跟有限差分法的区分 : 大家是怎麽区分的? 有甚麽差别 : 研究所的时候是学有限差分的 : 以为upwind,central differences甚麽的 : 都是有限差分在用的 : 最近用模拟软体再跑的时候 : 觉得设定上面跟有限差分看起来好像都差不多 : 可是却是有限元素分析软体 : 喔~ 就让我更加困惑了 : 有限元素跟有限差分的差别 : 是否可以从设定上? 计算中? 结果上? 看出来呢 我个人是觉得他们两个严格来说是完全不一样的东西啦 下面解释有点罗唆 懒得看的人可以直接跳到最後 例如有一个一维的热平衡方程式 (c(x) T(x)')' + s(x) = 0 x in (x1,x2) 边界条件 T = T1 @ x1, T = T2 @ x2 假设我们可以找到一个解T使得上面方程式满足 我们叫这个解 强解 (strong solution) 在这个例子里面strong solution是要存在於C^2(x1,x2) (二次微分连续) 但是我们可以把方程式乘以一个测试函数(test function) v(x) 然後用散度定理(divergence thm)把它改写成weak form ∫cT'v' - ∫s v = 0 假设我们可以找到另一个解T=U使得上面的式子对於所有的测试函数都成立 我们可以看出U不需要两次微分连续 U只需要属於H1 space (一次微分以後平方积分不会爆掉) 就可以了 对於这种解U我们叫它 弱解 (weak solution) 我们可以看出弱解不一定足够光滑可以满足原本的方程式 回到有限差分(finite difference) 有限差分是一种直接求解法(direct method) 他直接求解方程式 但是会有一些问题 例如: 1. 需要规律的格点(regular grids) 在对於一些复杂形状的domain会有一些问题 2. 我们只有解在格点上的资讯 对於格点还有格点中间我们没有任何资讯 3. 稳定性, 效率, ....... 那既然有直接求解法 当然也有不直接求解法(indirect method) 而有限元素法就是一种不直接求解法 不直接求解法一般来说会先把问题写成weak form再求解 而数值上的做法是找出weak solution的近似解 在weak solution的函数空间里面找一个有限维度的子空间 然後在这个子空间里面找出最佳的近似解 在有限元素法里面这个子空间就是被你的mesh还有element控制 当然你的mesh还有element选得很烂的话当然就只会有很烂的近似解 废话了一堆结论就是 1. Finite difference是一种direct method 直接求解方程式本身 2. Finite element是一种indirect method 是求解方程式的 weak form -- 以上为个人理解 欢迎指正 --

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