最近看旧书《几何原本》，发现一些漂亮的作法，与版友分享。 这次分享有关正二十面体的命题，以後有机会再写别的。 以下内容参考《几何原本》，主要出自第XIII册，这一册介绍各种正多面体。 主要定理则是XIII.16。我会用自己的想法改写，但保留原来的精神。 开始 一、中外比 「中外比」就是现在说的黄金分割，它的定义在第VI册，但早在II.11就给出了尺规作图， 并在IV.10、IV.11利用中外比的性质求作给定圆内接正五边形。 定义(中外比)： 设有一线段(记为"大")，分割为2个线段(记为"中"、"小"，显然大=中+小)。 若大：中=中：小 (或 大小=中中)时称中、小成中外比。 熟知正二十面体里面包含正五边形，而正五边形和中外比息息相关，因此从中外比切入 相当自然。事实上在第XIII册中的前几个命题，就是在证明中外比的一些性质。 我们首先要用到的性质如下： 性质(XIII.1) (中 + 大/2)^2 = 5 (大/2)^2 (小 + 中/2)^2 = 5 (中/2)^2 证明很简单省略，值得说明的是，依现代常见的思维是先解出 大：中=中：小= (1+sqrt(5))/2，然後不管要证明什麽等式都直接代入硬算。 但《几何原本》的证则是用中外比定义之关系式想办法兜出所求。 二、正五边形边长 熟知中外比=顶角36度的等腰三角形中的腰：底=正十边形外接圆半径：边长 但要研究正五边形，我们还缺少一个成分，即 顶角72度的等腰三角形的腰：底=正五边形外接圆半径：边长 这用三角函数来算不会很难，《几何原本》的结果出乎意料的漂亮： 性质(XIII.9、XIII.10) 设半径为r的圆中正五边形的边长为a5、正六边形的边长为a6、正十边形的边长为a10。 则 a6、a10成中外比 a5^2 = a6^2 + a10^2 (故a5、a6、a10构成直角三角形) 这里比较神秘的地方是《几何原本》其实没写到圆半径，但我们知道正六边形的边长 就是半径(r=a6) 这个证明也很有意思，但先暂时保留。反正应该可以相信「这可以算」，但为什麽正好可 表成平方和就是神奇的地方。 三、正二十面体的作图 1. 先设半径r待定 2. 在平面E1上作半径为r之圆O1，及其内接正十边形A0A1...A9，则边长为a10。 3. 取E2和E1平行，距离为a6， 分别过O1, A1, A3, A5, A7, A9作E1之垂线交E2於O2, B1, B3, B5, B7, B9 则A1A3A5A7A9-B1B3B5B7B9为底面正五边形(边长a5)，高为a6的五角柱， 特别的O1O2=a6 4. 於O1O2直线上O1O2外侧作X、Y使得XO1=O2Y = a10 则X-A0A2A4A6A8、Y-B1B3B5B7B9为底面正五边形(边长a5)，高为a10的五角锥 Claim：X-A0A2A4A6A8-B1B3B5B7B9-Y 组成正二十面体 只要验证 (i) AnBn+1 = a5 (同理 An+1Bn = a5 ) (ii) XAn = a5 (同理YBn = a5) 但 AnAn+1Bn+1是直角三角形，两股为AnAn+1=a10, An+1Bn+1=a6，由XIII.10，AnBn+1=a5 XO1An也是直角三角形，两股为XO1=a0, O1An=a6，由XIII.10，XAn=a5 到这里，其实已经证出所求是正二十面体(在第XI册定义中，只要求正二十面体是由 20个等边三角形组成。)但《几何原本》还继续补充 5. 证明所求正二十面体内接於球(XY为球直径) 利用圆周角，只要证明角XAnY是直角(同理 角XBnY也是直角) 考虑三角形XAnY，AnO1是XY上的高，但O1X=a10, O1An=a6, O1Y=a6+a10 由XIII.9知 a6, a10成中末比，O1X O1Y = O1An^2，故XAnY为直角(可用相似证明) 6.由外接球半径R求作待定半径r 这步本来是在最前面，但一开始就这样作会天外飞来一笔，我改成後面补述，比较清楚。 由作图，R^2=(XY/2)^2 = (a10+ a6/2)^2 但在中外比中，a6=中, a10=小，故由XIII.1得 R^2 = 5(r/2)^2，即 球直径^2 = 5r^2。 作图如下： 作半径为R的圆并取直径AB，在AB上取C使得AC:CB=4:1 过C作AB垂线交圆於D，则r=BD 四、Remark 在这个做法中，正二十面体被拆解为2个五角锥与1个反棱柱(antiprism)的组合， 再利用XIII.10证明各边长相等，非常漂亮。然而并未完全证明其对称性，虽然证明所求 正二十面体内接於球，但从另一方向来看是否仍为相同的五角锥-反棱柱结构并不清楚。 另一个更深的问题是唯一性，但初步检视《几何原本》第XI、XII、XIII册有关立体几何 部分，并不像平面几何一样有SAS、SSS、ASA等全等性质可以用，可能当时也不是很在意 这种问题，能够作图出来就好了(虽然说立体作图要怎麽实行也是很神秘)。 -- r=e^theta 即使有改变，我始终如一。 --

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