作者peter0122 (蠢草白痴多)
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标题[几何] 用欧拉定理不就可以证明四色定律吗
时间Mon May 4 10:58:54 2026
欧拉定理是不是已经证明了，
五个在同一个平面上不重叠的颜色，
不可能任一颜色都跟其他四个颜色都有相接？
那就代表，
必定有一个无法跟其他四个颜色都相接的颜色，
它顶多就只能跟三个颜色相接，
那这个颜色其实就可以换成那个跟它不相接的颜色，
这样就是四个颜色，
也就满足了是四色定律了
同理如果平面有无数个颜色，
任意取相邻的五个颜色，
用欧拉定理就可以知道，
这五个颜色不会每个颜色都跟其他四个颜色都相接，
所以必定有一个颜色可以换成没相接的那个颜色，
那这五个颜色，可以变成四个颜色，
也就满足四色定律
那为什麽一直说四色定律无法用公式证明？
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1F：→ Ricestone : 因为地图不只五块啊 05/04 11:31
2F：→ mantour : 你一次只看5块，换颜色的时候，怎麽确保不会跟这块 05/05 11:28
3F：→ mantour : 相临，但不在你选的那五块的其他格撞色 05/05 11:28
4F：→ mantour : 任选5块都可以用4色标成相邻不同色，跟整张图可以 05/05 11:30
5F：→ mantour : 同时用四色标成相邻不同色是不同的命题 05/05 11:30
我可以反过来说吗
欧拉定理证明只要是四个互相都相接的色块，
肯定不会有第五个色块与这四个色块都相接
就算有第六个第七个或以上也一样
所以四色就够用
如果以上叙述是正确，
那放大到无限大的平面和无限多图形，
上述也会成立
电脑跑出来的结果 不就证明了
※ 编辑: peter0122 (49.216.31.156 台湾), 05/06/2026 17:10:10
6F：→ Ricestone : 你所说的事情就是不够 把需要证明的部份省略掉了 05/06 18:33
7F：→ Ricestone : 用比较实际的例子说明，现在假设地图有六块，编为 05/06 18:34
8F：→ Ricestone : ABCDEF，你所讲的就是说选ABCDE时可以用四色，而且 05/06 18:34
9F：→ Ricestone : 选ABCDF时也可以用四色，当然为了用色最少，这两种 05/06 18:35
10F：→ Ricestone : 四色时我们都用同样的四色且ABCD用的也都一样 05/06 18:36
11F：→ Ricestone : 但这样没办法直接推到合并时E跟F不会出问题 05/06 18:37
12F：→ Ricestone : 当然如果你继续说「那就再换一下」，那当然会有成功 05/06 18:38
13F：→ Ricestone : 的结果，因为这是四色定理 但怎麽换就是需要证明的 05/06 18:38
14F：→ Ricestone : 部份 05/06 18:38
→ Ricestone : 我
前面讲的还有个漏洞，就是这样写也不能保证两次 05/06 19:06
15F：→ Ricestone : 的ABCD真的可以用同样的四色 05/06 19:07
16F：→ Ricestone : 喔，ABCD都只有一块的时候应该可以，我的意思是当 05/06 19:08
17F：→ Ricestone : 地图更多块时，单纯的代换颜色可能行不通 05/06 19:09
我讲的是已经被证明是事实的欧拉定理
这是一个数学原则，
在无限大的平面跟无限多的色块
任何的局部如果是四色块相邻的话
就不会有第五个色块跟这四色块都相接
所以四色就够用
就算有无数个相接四色块有相邻或重叠
也会遵守欧拉定理，不需要第五色
所以放大到整个平面都一样
我讲的是数学的原则
你讲的是有可能的例外漏洞
但例外漏洞有发生吗
你可以举出一个任何例外漏洞出来吗
电脑跑出来的结果不就是没有例外漏洞吗
18F：推 wrvuxci : 涂到的後面的时候，有可能某一块的邻域已经出现四个 05/07 11:16
19F：→ wrvuxci : 不同的颜色，尽管这四块并不一定是彼此相邻 05/07 11:17
※ 编辑: peter0122 (49.158.150.150 台湾), 05/07/2026 13:56:42
20F：→ mantour : 这个定理正确 跟你的证明完备是两件事 我们说的是 05/07 14:27
21F：→ mantour : 你的证明用到的某个推论缺乏根据，但是命题本身有 05/07 14:27
22F：→ mantour : 可能是对的 这种情况没有反例不代表你的证明是正确 05/07 14:27
23F：→ mantour : 的 05/07 14:27
24F：→ mantour : 如果你需要电脑跑出来没有漏洞才能支持你的命题正 05/07 14:28
25F：→ mantour : 确，那就是用电脑的结果才能完成这个证明，而不是 05/07 14:28
26F：→ mantour : 一个不需要电脑的证明了 05/07 14:28
27F：推 wrvuxci : 好像懂你的意思，但可能有个地方被混淆了。感觉你是 05/07 15:39
28F：→ wrvuxci : 在说，如果已经有一张地图涂好了五种颜色，你可以用 05/07 15:40
29F：→ wrvuxci : 这可定理保证一个颜色可以换回其他四个中的一个？ 05/07 15:40
30F：→ wrvuxci : 但是如果这五个颜色的区域有一个不是连通的，例如红 05/07 15:47
31F：→ wrvuxci : 色被涂到两个分开的地方，那麽这个定理就不适用，减 05/07 15:48
32F：→ wrvuxci : 色的操作就无法确保成立 05/07 15:49
33F：→ Ricestone : 尤拉定理是尤拉定理 四色定理是四色定理 05/07 20:00
34F：→ Ricestone : 两个都是定理 你讲的东西的思路就是用尤拉证明四色 05/07 20:01
35F：→ Ricestone : 所以是你要去说明为什麽尤拉可以去「证明」四色 05/07 20:01
36F：→ Ricestone : 你现在的逻辑就是像「因为"1+1=2"，所以"二次互反律 05/07 20:04
37F：→ Ricestone : "是对的一样 他们都是定理所以用电脑当然不会有例 05/07 20:04
38F：→ Ricestone : 外 05/07 20:04
39F：→ Ricestone : 不然其实你根本误会了四色定理的电脑证明 05/07 20:05
40F：→ Ricestone : 即使是电脑证明也不是直接对无穷的状态去做穷举的 05/07 20:05
41F：→ Ricestone : 我们是先证明只需要验证有限的状况，再用电脑去弄 05/07 20:05
42F：→ Ricestone : 不然就是你没有察觉到你的逻辑有问题，你讲很多次 05/07 20:11
43F：→ Ricestone : 五块可以，「所以」无数块也可以 这边的「所以」 05/07 20:12
44F：→ Ricestone : 并不是自然的逻辑推导 05/07 20:13
45F：→ Ricestone : 後面那句话就是四色定理，它的正确性直接来自四色定 05/07 20:14
46F：→ Ricestone : 理本身，而不是由你那句话的「所以」自然推导过来的 05/07 20:15
47F：→ Ricestone : 假设你想表达数学归纳法好了，你现在说的就是当n=5 05/07 20:19
48F：→ Ricestone : 时成立，然後就直接讲n任意数都都成立了 05/07 20:19
49F：→ Ricestone : 数学归纳法需要证明的地方就是假设n=k时成立，再用 05/07 20:20
50F：→ Ricestone : n=k的基础去证明n=k+1时也成立 我前面会说块数更多 05/07 20:21
51F：→ Ricestone : 时直接代换颜色行不通就是指这里会有问题 05/07 20:21
52F：→ Ricestone : 还是你没有看懂ABCDEF的例子为什麽我说的操作会有 05/07 20:58
53F：→ Ricestone : 问题？ E跟F相邻的话就会出错了 05/07 20:58
54F：→ Ricestone : 所以你要证明的话得先弄出一个一般化都不会有问题的 05/07 21:00
55F：→ Ricestone : 六块的操作方式，而且还得要更一般化到能够证明k到 05/07 21:01
56F：→ Ricestone : k+1也不会有问题的操作方式 05/07 21:02
57F：→ Ricestone : 不然的话你就只是证明6块时可以成立而已 05/07 21:02
58F：→ Ricestone : 当然，前面每个有限的阶段你都可以说电脑跑都不会有 05/07 21:06
59F：→ Ricestone : 例外 这句话甚至用不到尤拉定理 05/07 21:07
60F：→ Ricestone : 但k到k+1这一步你要如何使用电脑验证呢？ 05/07 21:07
61F：→ wrvuxci : 接续我前面的留言，因为你一直在说颜色相不相邻，但 05/07 21:14
62F：→ wrvuxci : 定理叙述并不是「平面上的五个颜色不能两两相邻」 05/07 21:15
63F：→ wrvuxci : 而是「平面上的五个连通区域不能两两相邻」，如果允 05/07 21:16
64F：→ wrvuxci : 允许使用飞地的话，五个颜色两两相邻是可能的 05/07 21:17
65F：→ Ricestone : 不然可能要反回去重新问原po的尤拉公式为什麽会得到 05/07 21:28
66F：→ Ricestone : 那样的结论 不然尤拉公式直接证明的应该是五色定 05/07 21:29
67F：→ Ricestone : 理 05/07 21:29
68F：→ wrvuxci : Just to be clear 我主要都是回应原PO的内容而已 05/08 00:15
69F：→ hwanger : 这里所说的地图就是我们印象中的地图, 而以下所提 05/08 14:17
70F：→ hwanger : 到的区域都直接假设是连通的, 并全部省去精准的定义 05/08 14:17
71F：→ hwanger : . 05/08 14:17
72F：→ hwanger : 注意到原 po 用 Euler characteristic 能够证明的 05/08 14:17
73F：→ hwanger : 其实是下面这个命题: 05/08 14:17
74F：→ hwanger : """不存在一张平面的地图、使其图上至少有五个区域 05/08 14:18
75F：→ hwanger : 彼此有邻边相邻""" 05/08 14:18
76F：→ hwanger : 然而这个命题并不显然地等价於四色定理 05/08 14:19
77F：→ hwanger : (至少不是我们一般认为的等价、而非单纯只是因为两 05/08 14:19
78F：→ hwanger : 者皆为真所以等价) 05/08 14:19
79F：→ hwanger : 原 po 证明的漏洞在於错误地认为下面这个叙述是可以 05/08 14:20
80F：→ hwanger : 简单得到的 05/08 14:20
81F：→ hwanger : (*) """如果有一张地图不存在 m=5 个区域彼此有邻 05/08 14:20
82F：→ hwanger : 边相邻, 则这张地图只需要 m-1 个颜色即可着色""" 05/08 14:20
83F：→ hwanger : 观察到原文後半段是应用 Euler 的性质来肯定 (*) 05/08 14:21
84F：→ hwanger : 的前件, 而非用来证明 (*) 本身, 并且原 po 对 (*) 05/08 14:21
85F：→ hwanger : 的论证和 m 是否为 5 是没有关系的. 05/08 14:21
86F：→ hwanger : 但是 (*) 在 m=3 和 4 时是有反例的: 05/08 14:22
87F：→ hwanger : 将极座标平面用 θ=0, 2π/5, 4π/5, 6π/5, 8π/5 05/08 14:22
88F：→ hwanger : 五条射线分成 5 块区域, 则你在这张地图上是找不出 05/08 14:22
89F：→ hwanger : 3 个区域、使得其彼此之间皆有邻边相邻, 可是这张 05/08 14:22
90F：→ hwanger : 地图却仍然需要至少 3 个颜色才能着色. 05/08 14:22
91F：→ hwanger : 而 m=4 的反例则只需在上述地图中心再加一个圆盘即 05/08 14:23
92F：→ hwanger : 可 05/08 14:23
93F：→ hwanger : 题外话, 或许试着思考 Alfred Kempe 的证明错误在 05/08 14:23
94F：→ hwanger : 哪, 可以帮助原 po 厘清自己的证明哪里不足 05/08 14:23