※ 引述《yueayase (scrya)》之铭言： : : 推 solumate : 你的解法跟穷举的麻烦程度已经相差无几了，甚至穷 01/10 1 3: : : → solumate : 举可能还更快一点。没有价值的解题方式，还一直坚 01/10 1 3: : : → solumate : 持敝帚自珍。自己都念到休学了，还不知道自己多少 01/10 1 3: : : → solumate : 斤两？想教人家数学喔？ 01/10 1 3: : 我必须强调 : 我分享解法并非为了炫技 : 我们可以看看网路上找到的各家对於学测112数A，单选第6题的解法: : 翰林云端学院: : https://reurl.cc/ORgnDX : Yadis 数学专栏: : https://drive.google.com/file/d/16-WAX3GbuEKzKH7Gbe0ynxUuOmnFYWQs/view : 郑奇数学: : https://reurl.cc/Db7EDR : 巫老师高中数学: : https://top1tutorinasia.com/112-college-entrance-exam-math/.html : 李华介教授: : https://math.ntnu.edu.tw/~li/108/112A.html : 雾岛简评112学测数学A: : https://home.gamer.com.tw/artwork.php?sn=5658736 : 看出来了吗? : 很多解法(例如上述连结前4个)根本就是全部列出来， : 列出来的全部都是以C(7,2)当样本空间在考虑 : 李华介教授因为说明简短，不知道他怎麽优化细节， : 因此，我难以判断他是否也是分类後，全部列出来考虑， : 但他提出了内积和，有点像是期望值可用: : 总奖金/总次数 计算的概念 : 唯一提出用C(7,2)当样本空间解法的雾岛， : 他在提出这个最佳解时，前面也是全部列举给你看 : 而那个最佳解仔细看有一句很值得玩味: : 其中重复选取的AF、AG... : 他这句很暧昧的表示了: : 我用某种方式合并之後，最後分子正好就是3*C(4,2) : 很难说到底是看了列举完21个後，归纳出来的心得 : 还是他一开始真的脑中能很清楚的"心算"自动合并 : 这也回应到我一开始发表解法的初衷： : 把P、Q两座标视为无序的，当样本空间， : 似乎不大容易用先前排列组合和机率的基本技巧组合起来计算 : 我自己的解法为什麽不是真的列出P(7,2)种，以及C(7,2)种所有可能 : 再分很多类(甚至不分了，直接列出来)? : 很简单，我心里有这种图像概念: : 选其一分量指定都为1 X 剩下2分量不要出现有同时为1的情形 : P(1,x,y) : Q(1,u,v) : 剩下2分量不要出现同时为1，我自己认为有扣得比较直接点 : 有出现同时为1的不就是剩下选1位都指定该位是1，剩下的座标让2个相异就好 : 然後C(2,1)*2就跑出来了 : 至於(x,y) (u,v)相异，想像他是binary string，大约就是可以想成取出00,01,10,11 : 相异给这2个，有P(4,2) : 我脑中有这些想像，也不用把12种全部列举出来，确认後面那一个: : 剩下2分量不要出现有同时为1的情形 : 确认可以和前面指定为1的部分， : 类似排列组合一开始乘法原理树状图的"配对"方式表示 : 我就很肯定: : 恰1个分量都为1的排列组合树可以长这样: : 选其一分量指定都为1 X 剩下2分量不要出现有同时为1的情形 : P(1,x,y) (x,y)=(0,0) : X : Q(1,u,v) (u,v)=(1,1) : 以上是举例， : 注意: 我举例不需要举出所有可能，只需要有个示意图，然後保证逻辑正确即可 : C(3,1) X (P(4,2) - C(2,1) *2) : 就这样生出来了 : 其他情况我就不赘述，特别是内积为0的，算期望值时根本不会贡献，不用算 : 同时，藉由这种分析方式发现: : 我不应该选C(7,2)当样本空间，应选取P(7,2)才对 : 这就是我当初发表文章分享解法希望传达的 : (其实为什麽原先C(7,2)可以用P(7,2)? : 这个道理很简单: 因为选用P(7,2)顶多把原先那个无序的，多copy一份出来 : 计算後，仍然符合原先等机率的假设， : 这正好就是以前老师常说的: 选C(7,2)和P(7,2)当样本空间都可以的理由 : ) : 过程中，我只要脑中大概有那个树状图"大概的"图像概念即可， : 只需要逻辑上真的可以变成那样，"完全不需要"一个一个列出来 : 这就是学习排列组合那些技巧的真正精神 : 我接下来引用以上连结李华介教授的评论: : 前面所提，相信一般高分组的同学都理解，也相信是用前述的坐标表法处理。 : 令人不解的是 : 7个向量选两个相异的向量内积， : 也仅有21种选取方式， : 为何高分组仅有的55%答对率呢？ : 或许对於处理排列组合的问题，我们应该再次强调如何用分类的方式有系统的计数， : 而不是一再的练习一些特殊的解法。 : 关键字: 分类、有系统的计数 : 我想原PO大约没有理解到: : 排列组合所学的计数技巧，主要目的就是: : 有系统性的计数、避免需要一一列举 : 因此，他似乎难以理解我这种解法，到底跟真的全部列举出来的差别在哪? : 但我要提醒一个观念: : 大考主要还是要有办法答对，所以用列举的方法是OK的 : 重点是要避开: 没有考虑清楚地多算和少算 : 这题如果以C(7,2)当样本空间，才21种，的确列举以考试拿分而言是可行 : (但前提是要有空间书写...) : 然而，比较之下， : 可以看出我的方法，并不需要分太多种类， : 更不需要真的(0,0,0)(0,0,1) ... (0,0,1)(1,1,1) : 列出这些长相才能计算， : 只需抓到可以拆解成以往所学排列组合基本技巧的那种正确的"树状图"的长相即可 : 呼应到李华介教授所言， : 学那些概念，本来目的就是: : 希望在不需要一一列举的情况下， : 可以有效率地计算出总共的排列组合数 : 个人认为， : 我这个方法虽然还不到能够用1~2行算式就能解决 : 但已经有达到充分利用排列组合技巧、没有用太多过於特殊的技术去解了 : 而且过程中没有那种需要"大量"列举、分类的动作 : 我认为这个解法已经足以让高中生参考和学习 : 如果因为我为了讲解，写很多字、举很多例子， : 居然被认为我的作法 = 穷举， : 根本不是一题平均5分钟内，可以想到、比列举还快的作法， : 我也很无奈啊... : 我真的要炫技，直接把有计算的算式列出来， : 看起来短短的很厉害就好， : 何必花这麽多篇幅+解释? : 我原先立意良善的意图，居然被这样负面解读， : 我也感到十分无奈... : 此外， : 我也有带过一些学生的经验(大多无偿)， : 很多人就像事主一样: : 为什麽我要学那些有的没有的技巧? : 直接暴力展开去算就好了啊? : 其实，这点在教学现场常常感到很无奈， : 因为大多数学生难以理解，用这些更好的方式， : 到底可以帮助他们在考试上赢得多少分? : 对於没有办法马上吸收和理解的学生们， : 真的看过不少像是: : 要计算毕氏定理斜边长，宁可一个一个平方展开，在相加 : 也不愿意学先提出公因数，然後用常见毕氏组数快速求解的 : 在他们心中，多学一个方法 = 额外增加的负担(无误) : 我想数学不好其实是大多数人都会出现的议题， : 但大家都知道，很多时候生活中不需要用到太多数学技巧 : 数学不好并不是什麽很需要自卑的事情， : 但网路上偶尔有些人把数学好坏的优越感， : 当作某种不知道要表达自己哪里多好的工具 : 太过功利主义的结果，往往很难在学数学的过程碰到这种挫折， : 持续撑下去把内容学会 : 这件事是正常现象，大多数人都多少会碰到这种撞墙的时期， : 但有些人整天把目光焦点放在结果上， : 以人性来讲，没有多少奖励的东西，难以吸引人... : 正常但却讽刺，也影响了不少学子学习数学的成果(物理似乎也差不多...) : 反正常听到那种: 学这个要干嘛，我会算数就好了... : 我最後都不想去回答什麽 : 因为世界上真的不用数学的事情很多，不用去较真啦... : 回想当初我学排列组合时，不懂解法 : 一开始就慢慢自己列举看看，在观察跟算法的关联性， : 虽然一开始学习进度很缓慢，看来无意间抓到正确的学习方式了 : 我也对此感到骄傲 : 毕竟能克服自己以往不会的东西的成就感， : 不需要向别人特别证明什麽... 回应一下gemini3的解法 这是一道关於空间向量与期望值的数学问题。我们可以透过建立空间坐标系，并列举所有 可能的内积情形来求解。 解题思路 1. 建立坐标系 考虑边长为 1 的正立方体，我们可以将固定顶点 O 设为原点 (0,0,0)。 其余 7 个顶点的坐标由 0 和 1 组成（不包含原点本身）。这 7 个点可以依据「含 1 的个数」分类： * A 组（含一个 1）： (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)，共 3 个点。 * B 组（含两个 1）： (1,1,0)、(1,0,1)、(0,1,1)，共 3 个点。 * C 组（含三个 1）： (1,1,1)，共 1 个点。 2. 计算样本空间（分母） 题目要求从这 7 个顶点中「随机选取相异两点」P、Q。 总共有 7 个点，任选 2 个的方法数为： 所以，总共有 21 种组合。 3. 计算内积总和（分子） 内积 \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 。 由於坐标只有 0 或 1，内积的值其实就是两点**「共同拥有 1 的坐标位置数量」**。 我们将所有可能的 21 种配对情形列出并计算内积总和： * 情形一：C 组 与 A 组配对（1 点配 3 点，共 3 种） * P=(1,1,1) 与 Q 为 (1,0,0)、(0,1,0) 或 (0,0,1)。 * 每个配对都有 1 个坐标重叠（内积为 1）。 * 小计：3 \times 1 = 3 * 情形二：C 组 与 B 组配对（1 点配 3 点，共 3 种） * P=(1,1,1) 与 Q 为 (1,1,0)、(1,0,1) 或 (0,1,1)。 * 每个配对都有 2 个坐标重叠（内积为 2）。 * 小计：3 \times 2 = 6 * 情形三：B 组 互配（3 点取 2 点，共 3 种） * 例如 (1,1,0) 与 (1,0,1)，重叠的是 x 坐标（内积为 1）。 * B 组任两点之间都恰好有一个坐标重叠。 * 小计：3 \times 1 = 3 * 情形四：B 组 与 A 组配对（3 点配 3 点，共 9 种） * 以 B 点 (1,1,0) 为例，它有两个 1。 * 遇到 (1,0,0) \rightarrow 重叠 1 个（内积 1） * 遇到 (0,1,0) \rightarrow 重叠 1 个（内积 1） * 遇到 (0,0,1) \rightarrow 重叠 0 个（内积 0） * 所以每个 B 点会贡献 1+1+0=2 的内积值。共有 3 个 B 点。 * 小计：3 \times 2 = 6 * 情形五：A 组 互配（3 点取 2 点，共 3 种） * 例如 (1,0,0) 与 (0,1,0)，完全没有重叠坐标（内积为 0）。 * 小计：0 4. 计算期望值 * 所有内积的总和 = 3 + 6 + 3 + 6 + 0 = \mathbf{18} * 总组合数 = \mathbf{21} 期望值 E 为： 答案 选项 (3) \frac{6}{7} (进阶速解法) 利用期望值的线性性质 如果不逐一列举，也可以利用对称性思考： 设 P=(x_1, y_1, z_1)，Q=(x_2, y_2, z_2)。 内积期望值 E[\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ}] = E[x_1x_2 + y_1y_ 2 + z_1z_2]。 由於 x, y, z 在立方体中是对称的，所以 E[x_1x_2] = E[y_1y_2] = E[z_1z_2]。 因此总期望值 E = 3 \times E[x_1x_2]。 计算 E[x_1x_2]： x_1x_2 只有在两点的 x 坐标皆为 1 时才等於 1，否则为 0。 在 7 个顶点中，x 坐标为 1 的点有 4 个：(1,0,0), (1,1,0), (1,0,1), (1,1,1)。 从 7 个点选 2 个点，且这 2 个点都在那 4 个点之中的机率为： 所以 E[x_1x_2] = 1 \times \frac{2}{7} = \frac{2}{7}。 总期望值 E = 3 \times \frac{2}{7} = \frac{6}{7}。 --

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