: 推 solumate : 你的解法跟穷举的麻烦程度已经相差无几了，甚至穷 01/10 13:13 : → solumate : 举可能还更快一点。没有价值的解题方式，还一直坚 01/10 13:13 : → solumate : 持敝帚自珍。自己都念到休学了，还不知道自己多少 01/10 13:13 : → solumate : 斤两？想教人家数学喔？ 01/10 13:13 我必须强调 我分享解法并非为了炫技 我们可以看看网路上找到的各家对於学测112数A，单选第6题的解法: 翰林云端学院: https://reurl.cc/ORgnDX Yadis 数学专栏: https://drive.google.com/file/d/16-WAX3GbuEKzKH7Gbe0ynxUuOmnFYWQs/view 郑奇数学: https://reurl.cc/Db7EDR 巫老师高中数学: https://top1tutorinasia.com/112-college-entrance-exam-math/.html 李华介教授: https://math.ntnu.edu.tw/~li/108/112A.html 雾岛简评112学测数学A: https://home.gamer.com.tw/artwork.php?sn=5658736 看出来了吗? 很多解法(例如上述连结前4个)根本就是全部列出来， 列出来的全部都是以C(7,2)当样本空间在考虑 李华介教授因为说明简短，不知道他怎麽优化细节， 因此，我难以判断他是否也是分类後，全部列出来考虑， 但他提出了内积和，有点像是期望值可用: 总奖金/总次数 计算的概念 唯一提出用C(7,2)当样本空间解法的雾岛， 他在提出这个最佳解时，前面也是全部列举给你看 而那个最佳解仔细看有一句很值得玩味: 其中重复选取的AF、AG... 他这句很暧昧的表示了: 我用某种方式合并之後，最後分子正好就是3*C(4,2) 很难说到底是看了列举完21个後，归纳出来的心得 还是他一开始真的脑中能很清楚的"心算"自动合并 这也回应到我一开始发表解法的初衷： 把P、Q两座标视为无序的，当样本空间， 似乎不大容易用先前排列组合和机率的基本技巧组合起来计算 我自己的解法为什麽不是真的列出P(7,2)种，以及C(7,2)种所有可能 再分很多类(甚至不分了，直接列出来)? 很简单，我心里有这种图像概念: 选其一分量指定都为1 X 剩下2分量不要出现有同时为1的情形 P(1,x,y) Q(1,u,v) 剩下2分量不要出现同时为1，我自己认为有扣得比较直接点 有出现同时为1的不就是剩下选1位都指定该位是1，剩下的座标让2个相异就好 然後C(2,1)*2就跑出来了 至於(x,y) (u,v)相异，想像他是binary string，大约就是可以想成取出00,01,10,11 相异给这2个，有P(4,2) 我脑中有这些想像，也不用把12种全部列举出来，确认後面那一个: 剩下2分量不要出现有同时为1的情形 确认可以和前面指定为1的部分， 类似排列组合一开始乘法原理树状图的"配对"方式表示 我就很肯定: 恰1个分量都为1的排列组合树可以长这样: 选其一分量指定都为1 X 剩下2分量不要出现有同时为1的情形 P(1,x,y) (x,y)=(0,0) X Q(1,u,v) (u,v)=(1,1) 以上是举例， 注意: 我举例不需要举出所有可能，只需要有个示意图，然後保证逻辑正确即可 C(3,1) X (P(4,2) - C(2,1) *2) 就这样生出来了 其他情况我就不赘述，特别是内积为0的，算期望值时根本不会贡献，不用算 同时，藉由这种分析方式发现: 我不应该选C(7,2)当样本空间，应选取P(7,2)才对 这就是我当初发表文章分享解法希望传达的 (其实为什麽原先C(7,2)可以用P(7,2)? 这个道理很简单: 因为选用P(7,2)顶多把原先那个无序的，多copy一份出来 计算後，仍然符合原先等机率的假设， 这正好就是以前老师常说的: 选C(7,2)和P(7,2)当样本空间都可以的理由 ) 过程中，我只要脑中大概有那个树状图"大概的"图像概念即可， 只需要逻辑上真的可以变成那样，"完全不需要"一个一个列出来 这就是学习排列组合那些技巧的真正精神 我接下来引用以上连结李华介教授的评论: 前面所提，相信一般高分组的同学都理解，也相信是用前述的坐标表法处理。 令人不解的是 7个向量选两个相异的向量内积， 也仅有21种选取方式， 为何高分组仅有的55%答对率呢？ 或许对於处理排列组合的问题，我们应该再次强调如何用分类的方式有系统的计数， 而不是一再的练习一些特殊的解法。 关键字: 分类、有系统的计数 我想原PO大约没有理解到: 排列组合所学的计数技巧，主要目的就是: 有系统性的计数、避免需要一一列举 因此，他似乎难以理解我这种解法，到底跟真的全部列举出来的差别在哪? 但我要提醒一个观念: 大考主要还是要有办法答对，所以用列举的方法是OK的 重点是要避开: 没有考虑清楚地多算和少算 这题如果以C(7,2)当样本空间，才21种，的确列举以考试拿分而言是可行 (但前提是要有空间书写...) 然而，比较之下， 可以看出我的方法，并不需要分太多种类， 更不需要真的(0,0,0)(0,0,1) ... (0,0,1)(1,1,1) 列出这些长相才能计算， 只需抓到可以拆解成以往所学排列组合基本技巧的那种正确的"树状图"的长相即可 呼应到李华介教授所言， 学那些概念，本来目的就是: 希望在不需要一一列举的情况下， 可以有效率地计算出总共的排列组合数 个人认为， 我这个方法虽然还不到能够用1~2行算式就能解决 但已经有达到充分利用排列组合技巧、没有用太多过於特殊的技术去解了 而且过程中没有那种需要"大量"列举、分类的动作 我认为这个解法已经足以让高中生参考和学习 如果因为我为了讲解，写很多字、举很多例子， 居然被认为我的作法 = 穷举， 根本不是一题平均5分钟内，可以想到、比列举还快的作法， 我也很无奈啊... 我真的要炫技，直接把有计算的算式列出来， 看起来短短的很厉害就好， 何必花这麽多篇幅+解释? 我原先立意良善的意图，居然被这样负面解读， 我也感到十分无奈... 此外， 我也有带过一些学生的经验(大多无偿)， 很多人就像事主一样: 为什麽我要学那些有的没有的技巧? 直接暴力展开去算就好了啊? 其实，这点在教学现场常常感到很无奈， 因为大多数学生难以理解，用这些更好的方式， 到底可以帮助他们在考试上赢得多少分? 对於没有办法马上吸收和理解的学生们， 真的看过不少像是: 要计算毕氏定理斜边长，宁可一个一个平方展开，在相加 也不愿意学先提出公因数，然後用常见毕氏组数快速求解的 在他们心中，多学一个方法 = 额外增加的负担(无误) 我想数学不好其实是大多数人都会出现的议题， 但大家都知道，很多时候生活中不需要用到太多数学技巧 数学不好并不是什麽很需要自卑的事情， 但网路上偶尔有些人把数学好坏的优越感， 当作某种不知道要表达自己哪里多好的工具 太过功利主义的结果，往往很难在学数学的过程碰到这种挫折， 持续撑下去把内容学会 这件事是正常现象，大多数人都多少会碰到这种撞墙的时期， 但有些人整天把目光焦点放在结果上， 以人性来讲，没有多少奖励的东西，难以吸引人... 正常但却讽刺，也影响了不少学子学习数学的成果(物理似乎也差不多...) 反正常听到那种: 学这个要干嘛，我会算数就好了... 我最後都不想去回答什麽 因为世界上真的不用数学的事情很多，不用去较真啦... 回想当初我学排列组合时，不懂解法 一开始就慢慢自己列举看看，在观察跟算法的关联性， 虽然一开始学习进度很缓慢，看来无意间抓到正确的学习方式了 我也对此感到骄傲 毕竟能克服自己以往不会的东西的成就感， 不需要向别人特别证明什麽... --

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