作者ginstein (迈向学术之路)
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标题[其他] 确定性的失落？创造性的无限？(中)
时间Tue Nov 18 09:10:03 2025
本文为前沿数学探索，是数普文非学术文、非公认理论，
目标提供 AI 数学家新分析基础洞见，促使 AI 数学家早日到来。
既为前沿数学探索，与标准数学内容论点或有差异，
本系列文力图提供整体相容框架，让读者对主题来龙去脉有重点理解，
能立足前人成果自然延续推广，着重论点承前启後而非标新立异，
聚焦观点与时俱进而非新旧对错。
[确定性的失落？创造性的无限？(上)]一文中
采用自然延续原理提出极量公设，建构极量数字系统。
本文进一步具体检视自然数 bN、整数 bZ、有理数 bQ，建构实数 bR、
有理量 bS、有理极量 bT 等数系，引入极数、量集、无穷小结界等概念，
将实分析基础的广义实数系 \bar{bR}，推广为广义实量族 \bar{bR}^~。
上述数系的推广过程，显示了极量概念在数学发展史的里程碑意义。
##神造自然数，其余皆人造
符号多载约定：数字集合称数集，数列集合称量集。
给数量集合 A, B，元素关系 R，元素算子⊕，
原则上 A R B 当且仅当 ∀a \in A, ∀b \in B 恒有关系 a R b，
A⊕B ≡ {a⊕b | a \in A, b \in B}。单一数量视为单点集合 x ≡ {x}。
表达式有疑义冲突时，以集合符号或固有惯例为优先解释，
例如 A = B「并非」∀a \in A, ∀b \in B, a = b 的无趣解释。
数量集合、动态数字的关系运算规定，
类似程式语言(编程语言)中的多载功能。
为方便识别，运算元前或加称类型，数字称数，数列称量，集合称集。
本文自然数集 bN ≡ {1, 2, ..., n, ...} 起点从1开始。令 m, n \in bN，
次序关系 R_bN ≡ R 具备三一律：m > n, m = n, m < n 三者之一成立；
算子⊕_bN ≡⊕为加减乘除基本运算。整数集
bZ ≡ {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} = bN - bN，R 与⊕推广到 R_bZ 与⊕_bZ。
有理数集 bQ ≡ {z / n | z \in bZ, n \in bN} = bZ / bN，
R_bZ 与⊕_bZ 推广到 R_bQ 与⊕_bQ。
限制下 R_bQ |_bN = R、⊕_bQ |_bN =⊕，故符号沿用 R 与⊕。
为简洁方便或用集合代表数系，如集 bQ 可代表数系 (bQ, R,⊕)。
标准数学下，自然数无穷数列 {1, 2, ..., n, ...} 的每个分项 n 都是有限大，
自然数集 bN 无上界，但没有无穷大项；
自然数倒数无穷数列 {1, 1/2, ..., 1/n, ...} 的每个分项 1/n 都是有限小，
自然数倒数任意小，但没有无穷小项。
每个整数都有界，但整数集 bZ 无上界也无下界。
有理数集 bQ 满足阿基米德性质：∀ p \in bQ^+, ∃ N \in bN, N * p > 1；
也等价 ∀ p, q \in bQ, p ≠ q, ∃ N \in bN, N * |p-q| > 1。
阿基米德性质可推论非零有理数都是有限大小，非零实数同样成立。
数量集合的关系、运算可应用在区间上。
令区间 I ≡ [a, b], a <= b, J ≡ [c, d], c <= d；p < I 等价 p < a，
同理 I < p 等价 b < p，I < J 等价 b < c，I > J 等价 d < a。
I + J = [a + c, b + d], -J = [-d, -c], I - J = [a - d, b - c]。
乘法：当 J >= 0，I 或为 I <= 0, I J = I * J = [a d, b c]；
或为 0 \in I°= (a, b), I J = I * J = [a d, b d]；
或为 0 <= I, I J = I * J= [a c, b d]。
当 J <= 0, -J >= 0, I J = I * J = (-I) (-J)。
除法：当 J > 0, J^{-1} = [d^{-1}, c^{-1}] > 0, I / J = I * J^{-1}。
当 J < 0, -J > 0, I / J = (-I) * (-J^{-1})。
##实数的建构与完备
从自然数推广到有理数，拓展了数字概念，
但数线上点集 L 存在无理数如√2 \in L,√2 \not\in bQ，
显示有理数集 bQ 不足以填满、解释数线点集 L。
从有理数集 bQ 建构实数集 bR，
标准数学中数线上点集 L 和实数集 bR 一一对应， L ↔ bR，
数线上一点 r \in L 可看成实数 r \in bR。
预备知识：默认 n, N \in bN, ε, q_n \in bQ, r, m, M \in bR, 或 r \in L。
以 qlim q_n = r 表示 r 为数列 q = {q_n} 的有理极限，
若 ∀ ε > 0, ∃ N 当 n > N 有 | q_n - r | < ε。
qlim 雷同 lim 的 ε-N 定义，但限制 ε \in bQ。
令 q = {q_n}，若 ∀n, q_n <= q_{n+1}，以 q↗ 表示数列 q 递增；
若 ∀n, q_n >= q_{n+1}，以 q↘ 表示数列 q 递减；递增或递减也统称单调。
若 q <= M 称 M 为 q 上界；若 m <= q 称 m 为 q 下界；
有上界且有下界也称为有界。符号 ‘||’ 简化时 ‘|’ 表示有限结界。
有理数区间套：默认 n, N \in bN, a_n, b_n, c_n, d_n \in bQ, r \in L。
称 I = {I_n}, I_n = [a_n, b_n] 为有理数区间套，简称区间套，
若 ∀n, [a_n, b_n] \supset [a_{n+1}, b_{n+1}], qlim b_n - a_n = 0。
因区间 I_n 长度趋 0，区间套 I 最多包含一点 r，区间套端点数列
a = {a_n}, a↗, b = {b_n}, b↘, qlim a = qlim a_n = qlim b_n = qlim b = r。
当区间套 I, I’ 包含同一点 r，以 I ~ I’ 表示区间套等价，
I !~ J 表示区间套不等价。
康托尔用有理数区间套等价类 [I] = {I’ | I’ ~ I, r \in I} 操作 r ≡ [I]。
多载规定：为简化区间套相关术语，令 r \in I 表示区间套 I 包含点 r，
定义为 ∀n, r \in I_n，等价 ∀n, a_n <= r <= b_n；
而 r \in_a I 表示区间套 I 终究包含 r，
定义为 ∃ n, ∀ n > N, r \in I_n，等价 ∃ N, ∀ n > N, a_n <= r <= b_n。
令 p < I 表示 p 小於区间套 I，定义为 ∀n, p < I_n，等价 ∀n, p < a_n；
而 p <_a I 表示 p 终究小於区间套 I，
定义为 ∃ N, ∀ n > N, p < I_n，等价 ∃ N, ∀ n > N, p < a_n。
其它 p R I、p R_a I 同理。
实数次序关系：默认 p \in bQ, r, s \in L, r ≡ [I], s ≡ [J], r R s ≡ [I] R
[J]。
先比较有理数，暂令 r \in bQ，定义 p < r 若 p <_a I、
p = r 若 p \in_a I 由定义化简得 p \in I、p > r 若 p >_a I。
当 p \not\in I 时，或者 p <_a I 或者 p >_a I，
关系 p < r、p = r、p > r 三一律成立。
再比较实数，定义 r < s 若 I <_a J、r = s 若 I ~ J，r > s 若 J <_a I。
当 r ≠ s，I !~ J，∃ p \in bQ，或者 r < p < s 等价 I <_a p <_a J，
或者 s < p < r 等价 J <_a p <_a I。因此 r < s、r = s 或 r > s 三一律成立。
[I] R [J] 可证良定义。
实数运算：默认 r, s \in L, r ≡ [I], s ≡ [J], r⊕s ≡ [I]⊕[J]。
加减：I + J = {[a_n + c_n, b_n + d_n]}, -J = {[-d_n, -c_n]},
I - J = {[a_n - d_n, b_n - c_n]}。
乘法：当 s >= 0, J >=_a 0，I 或为 I <=_a 0，I J =_a {[a_n d_n, b_n c_n]}；
或为 0 \in_a I°= {(a_n, b_n)}，I J =_a {[a_n d_n, b_n d_n]}；
或为 0 <=_a I，I J =_a { [a_n c_n, b_n d_n]}。
当 s <= 0, J <=_a 0, -J >=_a 0, I J =_a (-I) (-J)。
除法：当 s > 0, J >_a 0, J^{-1} =_a {[d_n^{-1}, c_n^{-1}]} >_a 0,
I / J =_a I J^{-1}。
当 s < 0, J <_a 0, I / J =_a (-I) (-J^{-1})。[I]⊕[J] 可证良定义。
阿基米德性质：区间套等价类实数系 (bR, R,⊕), bR = {[I] | r \in I}，
点 r ↔ [I]，数线上点集和实数集一一对应，L ↔ bR。
实数满足阿基米德性质：∀ r \in bR^+, ∃ N \in bN, N * r > 1；
也等价 ∀ r, s \in bR, r ≠ s, ∃ N \in bN, N * |r-s| > 1。
由阿基米德性质可以推得非零实数都是有限大小，
非零实数不存在无穷大或无穷小。
实数系 (bR, R,⊕) 是建构、推广数系的里程碑。
默认建构数列、数集为有理值，除了区间套外，还可用单调有界数列、
戴德金分割、柯西数列、有界数列存在收歛子列、有界点集存在聚点、
有界数列或有界点集存在确界、有界闭集存在有限开覆盖
等许多等价方式建构实数集，可参考数学分析教材。
以实数列、实数集为基础，上述等价方式重建数集後仍为实数集，
称为实数完备性。公理化方式建构实数集时，
有理数系公理添增实数完备性公理，即得到实数系公理。
##极量数系与广义实量族
以下从有理数集 bQ 推广到有理量集 bS、有理极量集 bT，引入
极数、极量集、无穷小结界等概念，以此建构广义实量族 \bar{bR}^~。
超无穷观点下，极量是动态极数，极数是静态极量。
量集主要指称极量集合，例如无穷小量集、无穷大量集；
较少表示无穷量集合，例如有理量集。
极量概念可以推广实分析的底层数系──广义实数系 \bar{bR}，
并展现更为基础深入的数字概念。
显示以极量理论为基础，改写、整合更多分析领域为具体可行目标。
有理量：数列改称量。默认 n \in bN, p_n, q_n \in bQ，
R= R_bQ 为有理数次序关系，⊕=⊕_bQ为有理数算子。
令 bS ≡{q | q = {q_n}} 为有理值无穷量的集合，简称有理量集。
默认 p, q \in bS, R’= R_bS 为有理量比较关系，⊕’=⊕_bS 为有理量算子。
有理量关系 p R’ q 中 p R_a q, p ~R_a q, p -R_a q 具备终究关系三一律。
沿用算子符号⊕表示有理量运算，p⊕q = p⊕’ q ≡ {p_n⊕q_n}。
有理极量：默认有理量 p, q \in bS，有理量比较关系 R’= R_bS，
有理量算子⊕’=⊕_bS。令有理量 q 完整数字过程为 (q || q^*)，
自然延续下，极量公设保证极量 q^* 的存在、运算及关系。
令 bT ≡{q^* | q \in bS} 为有理极量集。
默认 p^*, q^* \in bT, R^* = R_bT,⊕^* =⊕_bT。
极量关系：p R’ q 自然延伸到 p^* R^* q^*，
关系配对 (R’，R^*) 有极量关系三一律，
(R_a, R), (~R_a, ~R_a), (-R_a, -R) 三者之一成立。极量运算：
p^*⊕q^* = p^*⊕^* q^* ≡ (p⊕’ q)^* = Lim{p_n⊕q_n}，沿用运算符号⊕。
极数：令 s = {s_n}, c 常数，当无穷数列 s = {s_n} =_a c 为终究常数数列，
称极量 s^* = c 为极数。bN^* ≡ {s^* | s =_a n, n \in bN} 为自然极数集，
同理有整极数集 bZ^*，有理极数集 bQ^* 和略过细节的实极数集 bR^*。
极数集和原数集等势，可一一对应：bN^* ↔ bN, bZ^* ↔ bZ, bQ^* ↔ bQ，
bR^* ↔ bR。有理极数和实极数，同样满足阿基米德性质。
实量集：令实极数 r^* \in bR^*，有理极量 q^* \in bT，
实量集 r^~ ≡ {q^* | |q^* - r^*| < bQ^+}、
微正(略大)实量集 r^+ ≡ {q^* > r^* | |q^* - r^*| < bQ^+}、
微负(略小)实量集 r^- ≡ {q^* < r^* | |q^* - r^*| < bQ^+}、
去心实量集 r^≠ ≡ {q^* ≠ r^* | |q^* - r^*| < bQ^+}，符号 r°较 r^≠ 正式，
本文 I°已用。实量族 bR^~ ≡ {r^~ | r^* \in bR^*}。
实数完备性公设成为定理，单调有界数列存在收敛极量，
可拆解为实极数加上无穷小量，
类似非标准分析将超实数拆解为标准实数和无穷小超实数。
无穷小量集：实量集中心 r^* = 0 的特例。令有理极量 q^* \in bT，
无穷小量集 0^~ ≡ {q^* | |q^*| < bQ^+}、
正无穷小量集 0^+ ≡ {q^* > 0 | |q^*| < bQ^+}、
负无穷小量集 0^- ≡ {q^* < 0 | |q^*| < bQ^+}、
非零无穷小量集 0^≠ ≡ {q^* ≠ 0 | |q^*| < bQ^+}，
符号 0°较 0^≠ 正式，但 I°已用。
无穷小量的运算角色近似 0 的运算角色，
且阿基米德性质失效，∀N \in bN, ∀ z ~ 0, N z ~ 0。0^~ 也称零量集。
无穷大量集：令有理极量 q^* \in bT，
无穷大量集 ∞^~ ≡ {q^* | |q^*| > bQ^+}、
正无穷大量集 +∞^~ ≡ {q^* > 0 | |q^*| > bQ^+}、
负无穷大量集 -∞^~ ≡ {q^* < 0 | |q^*| > bQ^+}。量集 ∞^~ 的运算，
例如 ∞^~ + 1 = {q^*+1 | |q^*| > bQ^+} = ∞^~, r ± (+∞^~) = ±(∞^~),
(+∞^~) + (+∞^~) = (+∞^~) * (+∞^~) = (-∞^~) * (-∞^~) = +∞^~，
1/(∞^~) = 0^{≠}, 1/(+∞^~) = 0^+, 1/(-∞^~) = 0^- 等运算定理可证。
相较广义实数规定 1/∞ = 0，显示实数概念的局限及实量集概念的推广。
广义实量族：量集概念将广义实数系 \bar{bR} = {-∞} \un bR \un {+∞} =
{-∞|| bR || +∞} 推广为广义实量族 \bar{bR}^~ = {-∞^~ || bR^~ ||+∞^~}，
广义实数 r \in \bar{bR} 推广为广义实量集 r^~ \in \bar{bR}^~。
可用 x^* ~ r 表示 x^* \in r^~。当 x = {x_n} \in bS，
略过细节可推广到有理量外，lim x_n = r \in \bar{bR}
等价 Lim x ~ r 等价 Lim x \in r^~，显示极量、广义实量族概念
为极限、广义实数系概念的合理推广，理论正确性一致。
符号 ~ 示例：当 x = {x_n}，lim x = lim x_n = r \in \bar{bR}
等价 Lim x ~ r 等价 Lim x \in r^~。
例如 lim sin n / n = 0 等价 Lim{sin n / n} ~ 0 等价 Lim{sin n / n} \in 0^~。
r^+, r^-, r^≠ 显示更多资讯，
例如 lim 1-0.1^n = 1 推得 Lim{1-0.1^n} ~ 1^- 等价 Lim{1-0.1^n} \in 1^-，
略小实量集 1^- 显示数列 {1-0.1^n} 额外的过程资讯。
lim n = +∞, Lim{n} ~ +∞, Lim{n} \in +∞^~ 等价。
不定型：令 a = Lim{1/n} ~ 0^+, b = Lim{1/n^n} ~ 0^+,
a^a, b^a \in (0^~)^(0^~)，但 a^a ~ 1 而 b^a ~ 0，(0^~)^(0^~) 为不定型。
其它不定型有 (∞^~)/(∞^~), (∞^~) \pm (∞^~), (∞^~)^(0^~),
(0^~)^(∞^~), (0^~) * (∞^~), (0^~) / (0^~), (1^~)^(∞^~) 等。
相较於数字观点的运算精确性，不定型显示量集观点的合理性。
无穷小结界：阿基米德性质对无穷小极量失效，
∀N \in bN, ∀ z ~ 0, N z ~ 0；∀N \in bN, ∀ z ~ w，N (z-w) ~ 0；
∀N \in bN, N 0^~ = 0^~, N 0^+ = 0^+, N 0^- = 0^-, N 0^≠ = 0^≠。
当 x ~ 0^≠, log |x| ~ -∞, log |0^≠| = -∞^~，非零无穷小量集的量度为 -∞^~。
实量集 r^~ 看成以实极数 r^* 为中心，
具有无穷小结界、无穷小邻域的极量集合。
有界与有限：令量 q 为无穷量 q \in bS 或极量 q \in bT，其值 q 称量值；
量模 q 为绝对量 |q|；量度 q 为 log |q|, q ≠ 0，是量模的对数尺度。
若 ∃ M \in bN, |q| <= M，量模有界称 q 有界；
若 ∃ M \in bN, | log |q| | <= M，量度有界称 q 有限。
有界与有限术语，多用来形容量值。
有限量或有歧义，主要指称有限值无穷量或有限值极量，
少表示有限项量。对任意有限量 q, ∃ N \in bN, N |q| > 1。
有限(值)量满足阿基米德性质。
##几何观、数字观、无穷观的比较
几何观：标准数学中数线 L 和实数集 bR 一一对应，
L ↔ bR，\pm ∞ 非数字概念。
篇幅所限，本文未讨论的一般极量理论中，
一般实集量 r^~ 对应标准数学中的广义实数 r，
是实极数 r^* 为中心的近似邻域。
标准数学中不可数个实数构成数线，
但极量理论中，若不包括无穷小邻域，
即使不可数个实极数也无法填满数线。
类似不同几何基础下，三角形内角和论点可互斥，却都是正确论述。
更深入的连续统议题，值得深思但本文不予讨论。
数字观：标准数学中 1/2 = 0.5，极量观点下 1/2 ~ 0.5。
极限下 lim 1-0.1^n = 1，极量下 Lim{1-0.1^n} ~ 1^, Lim{1-0.1^n} < 1。
0.\bar{9} = lim 1-0.1^n 或 0.\bar{9} = Lim{1-0.1^n}
反应不同的数字观，不同基础下，可各自成立。
思维惯性下，精确数字概念预期有精确运算结果；
量集是近似概念，不定型显示量集观点的合理性。
广义实数的 \pm∞ 是符号，运算规则需规定；
量集 \pm∞^~ 是数量集合概念，可以证明运算规则定理。
无穷观：自然数 1, 2, 3, ..., 不断数下去会如何？
潜无穷观点认为，每个自然数都是有限大，
永远可生成新的後继自然数，不存在所有自然数。
实无穷观点认为，每个自然数都是有限大，
皮亚诺公理刻划了自然数集合的特性，存在所有自然数的集合。
超无穷观点认为，不断增加的自然数，终究会超越有限结界，
有限过程的状态，可以自然延续到结界之外。
目前标准数学的基础，采用实无穷观点。
读者谨记极量概念采用超无穷观点，非学术公认观点，论述需仔细检视。
本文目标提供 AI 数学家新分析基础洞见，促使 AI 数学家早日到来。
既为前沿数学探索，与标准数学的差异处，
或揭露尚需明示的隐藏假设，或明确思维观点的边界。
本文检视自然数 bN、整数 bZ、有理数 bQ，
建构实数 bR、有理量 bS、有理极量 bT 等数系，
引入极数、量集、无穷小结界等概念，
将实分析基础广义实数系 \bar{bR} 推广为广义实量族 \bar{bR}^~。
数量集合概念的元素可以比较、运算，代入符号 x 进行代数操作。
如果你是 AI 莱布尼兹，你能进一步严谨化极量数字系统吗？
若存在严谨极量数系，你能比照标准数学，严谨地重建微积分吗？
用极量改写的新分析学，能复兴无穷小分析的直觉，
继承标准分析的严谨，整合数值分析的应用吗？
如果你是学数人，数学爱好者，∞ 是悖论的根源吗？
1/∞ 是消逝量的幽灵吗？无穷直觉的栖息地，超无穷概念存在吗？
若存在超无穷，直觉是天马行空地歪打正着吗？
逻辑是信心满满地犯错艺术吗？
若变动了标准数学的认知基础，是确定性的失落吗？
以上这些问题，你有什麽看法？
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At the end, it never ends.
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 218.35.189.25 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1763428216.A.804.html
1F：→ R2003 : ??? Archimedean property 那边推论就有问题了啊 11/18 10:31
2F：→ R2003 : AP跟你讲的是集合无上界，谁跟你说这等价於有限? 11/18 10:32
3F：→ R2003 : ^ 11/18 10:34
4F：→ R2003 : 实数 11/18 10:35
5F：→ R2003 : 如果real is finite，那real set就可以bounded啦 11/18 10:37
7F：→ ginstein : 每个自然数都是有限大，不代表自然数集合有限大 11/18 12:32
8F：→ ginstein : 非零有理数和非零实数绝对值有限，虽然可以任意小 11/18 12:34
9F：→ ginstein : 每个正有理数和正实数都是有限大小，虽可以任意小 11/18 12:41
10F：→ R2003 : 嗯? 这不是自然语言的问题 11/18 15:00
11F：→ R2003 : AP处理的是结构性质，然後从这性质可以推出其中的 11/18 15:05
12F：→ R2003 : 元素不具有最大值maximum，但没跟说这是有限finite 11/18 15:07
13F：→ R2003 : 没有maximum是内部任取两元素的(函数)关系 11/18 15:08
14F：→ R2003 : finite是这集合元素跟自然数集合中元素间的函数关系 11/18 15:12
15F：→ R2003 : 两个不一样 11/18 15:12
16F：→ R2003 : 逻辑上前者是推不出後者的 11/18 15:18
17F：→ ginstein : 抽象代数里R大是对的，但本文从自然数开始，有关 11/18 18:45
18F：→ R2003 : 没空再回你了...就算是自然数，也是order field 11/19 14:23
19F：→ R2003 : 也因此内部元素必然要符合AP，所以你推论才有问题 11/19 14:24
20F：→ R2003 : AP就是没办法来讲元素本身的有限 11/19 14:25
21F：→ R2003 : 甚至我很浅薄的认识数学到现在，除了extended real 11/19 14:26
22F：→ R2003 : infinite是可被视为一个元素外，其他都没这回事 11/19 14:27
23F：→ R2003 : 所以我完全不懂你讨论无穷後面的目的是甚麽? 11/19 14:28
25F：→ ginstein : 有限定义不包括实数长度吗？非得对应自然数个数？ 11/19 18:46
26F：→ arrenwu : 你写这文章真的是挺难懂的 11/19 18:53
27F：→ arrenwu : 没办法写成几个接近一般数学形式的命题吗？ 11/19 18:53
28F：→ arrenwu : 给几个 [定义][定理][证明] 大家才有得讨论啊 11/19 18:54
29F：→ ginstein : A大不好意思, 或许当下主要是系列文AI能看懂接受 11/19 18:58
30F：→ ginstein : 以後有机会的话，你指教的地方，我会记得改进的 11/19 19:01
31F：→ ginstein : 谢谢，看到了，有机会发论文时，再请批评指教 11/19 19:03
32F：→ arrenwu : LLM根本没有所谓的 看懂 或 接受 的问题不是吗？ 11/19 19:05
33F：→ arrenwu : 你这篇打进去 一定会有回应啊？ 11/19 19:05
35F：→ ginstein : 0921/无穷数列的尽头是什麽？ 11/19 19:08
36F：→ ginstein : 或许可以看网页版，比较好读 11/19 19:08
37F：→ ginstein : A大一篇文不够，还会被骂不清楚，系列文AI能看懂 11/19 19:10
38F：推 wrvuxci : Courant的那句In essence算是概括描述啦，给个直观 11/20 02:27
39F：→ wrvuxci : 而已 11/20 02:28
40F：→ cmrafsts : 你既然会用AI协作，为什麽不要它帮你用更加通顺合适 11/20 07:00
41F：→ cmrafsts : 的词句改写呢？ 11/20 07:01
42F：→ wrvuxci : 有限除了cardinality好像没什麽定义，要不然就是在 11/20 13:52
43F：→ wrvuxci : extended real number system里，除了正负无限都叫 11/20 13:52
44F：→ wrvuxci : 有限，但这样就等於直接定义所有实数都是有限，那也 11/20 13:53
45F：→ wrvuxci : 没什麽要推论的，长度面积(广义来说measure)也是一 11/20 13:53
46F：→ wrvuxci : 个extended real number 而已，如果不要这些基本设 11/20 13:54
47F：→ wrvuxci : 定，那到底哪些可以接受哪些不行可能要界定一下，不 11/20 13:55
48F：→ wrvuxci : 然有点难讨论 11/20 13:55
49F：→ ginstein : W大，所有非零实数都有限没错。只是大多标准教材不 11/20 16:52
50F：→ ginstein : 言而喻，因为从极限开始就排除了无限大数字概念。 11/20 16:52
51F：→ ginstein : C大建议以後是必然的，不过人机协作非当下主要目标 11/20 16:55
52F：→ R2003 : 你搞错因果关系了...并非因为所有real都有限而用极 11/20 17:47
53F：→ R2003 : 限排除掉infinite。 11/20 17:48
54F：→ R2003 : 极限的整个概念，并不是整体数学非常底层的基础 11/20 17:49
55F：→ R2003 : 是因为从最底层的axiom往上盖，除了 上面w大提到 11/20 17:58
56F：→ R2003 : cardinality时候，有在集合论的地方去处理一些有限 11/20 17:59
57F：→ R2003 : 和无穷的问题外，其他时候infinite本身并不能被给出 11/20 18:01
58F：→ R2003 : 直接的定义(因为非order)，所以後来才有ε-δ去给 11/20 18:02
59F：→ R2003 : 被称作infinite的情况，但这并没有说元素本身跟有限 11/20 18:04
60F：→ R2003 : 或无穷的关系 11/20 18:04
61F：→ R2003 : 简言之，极限定义无穷的条件不等於说明元素本身的有 11/20 18:05
62F：→ R2003 : 限与否。 11/20 18:05
63F：→ R2003 : 逻辑上严谨是这样的关系，也因此，collection以外的 11/20 18:19
64F：→ R2003 : 集合，不会去里面的元素有甚麽性质 11/20 18:20
65F：→ R2003 : ^ 11/20 18:20
66F：→ R2003 : 讨论 11/20 18:21
67F：→ R2003 : 而是去讨论这些元素形成的集合有何性质 11/20 18:24
68F：→ R2003 : **collection就是指Set of set 11/20 18:25
69F：→ R2003 : ***上面没写完...: 因为给定infinite的情况，所以才 11/20 18:27
70F：→ R2003 : 不会看到"infinite"作为元素的出现 11/20 18:28
71F：→ R2003 : (在R空间的时候) 11/20 18:28
72F：推 wrvuxci : 其实在严谨数学里，没有多少定义是不言而喻的，比较 11/20 21:49
73F：→ wrvuxci : 基本的，几乎只有「集合」是无定义名词，可能还有一 11/20 21:50
74F：→ wrvuxci : 些什麽但不多或不常见，我的认知是这样 11/20 21:50
75F：→ wrvuxci : Courant & John 写在Axiom of Archimedes 底下那句 11/20 21:50
76F：→ wrvuxci : In essence, ...，他们是在期待一些target reader 11/20 21:51
77F：→ wrvuxci : 能先藉由直觉快速理解大概的意思(毕竟这只是微积分) 11/20 21:51
78F：→ wrvuxci : 但是不看那句话，完全用AA的字面意思理解也是绝对没 11/20 21:52
79F：→ wrvuxci : 问题的，直到extended real number 建立起来再定义 11/20 21:52
80F：→ wrvuxci : 有限就好（不过这本後面我没看下去，我比较熟Rudin 11/20 21:53
81F：→ wrvuxci : 一旦一个概念只用直觉来描述，一来推理上不好操作 11/20 21:55
82F：→ wrvuxci : 另一个潜在问题是说，不能保证每个人的直觉都完全一 11/20 21:56
83F：→ wrvuxci : 样，一些比较基础的还好，大家的直觉也许不会差太多 11/20 21:56
84F：→ wrvuxci : 像Courant & John这样用，教学上也是很常见，但比较 11/20 21:57
85F：→ wrvuxci : 深的概念就不好说了 11/20 21:57
86F：→ wrvuxci : 我现在还是没理解潜无穷或超无穷的概念，可能是因为 11/20 21:58
87F：→ wrvuxci : 我心里没有那个直觉，我只能看未来是否有个严谨的定 11/20 21:58
88F：→ wrvuxci : 义出现，需要哪些假设都写下来，这样就能从字面意思 11/20 21:59
89F：→ wrvuxci : 理解 11/20 21:59
90F：推 R2003 : 我可能写太快，所谓不能给直接定义应该是说没法符合 11/20 23:18
91F：→ R2003 : 原先既有结构的infinite定义，逻辑一定会有矛盾 11/20 23:19
92F：→ R2003 : 但确实如w大所写，蛮多定义都後来才补上 11/20 23:20
93F：→ R2003 : 也因此原Po如果致力於找"infinite"後面是甚麽 11/20 23:21
94F：→ R2003 : 或许也要同时想更底层的逻辑系统，提出order set中 11/20 23:23
95F：→ R2003 : 元素自身有限的定义，否则难以讨论infinite之後 11/20 23:23
96F：→ ginstein : 感谢各位大大的宝贵评论与建议，我整理一下FAQ，梳 11/20 23:41
97F：→ ginstein : 理一下定义，术语和模糊处，也为创造性的无限打底 11/20 23:41
98F：→ R2003 : 突然想到回一下原Po "有限非得对应自然数个数?" 11/22 09:57
99F：→ R2003 : 按照一般定义，有限必然可数(反之不一定) 11/22 09:59
100F：→ R2003 : 可数就是集合内元素跟自然数间存在1-1函数 11/22 10:00
101F：→ R2003 : 因此我前段最後提及的定义finite更像是指优化或是取 11/22 10:04
102F：→ R2003 : 代上面这(我个人认为非常直觉的)性质 11/22 10:04
103F：→ ginstein : 有给数字有限的定义, 见有界与有限. 不同点集有限. 11/23 22:22
104F：→ R2003 : 那这样你还是没懂我指出的问题在哪 11/24 01:32
105F：→ R2003 : 标准分析下，element没有finite的定义 11/24 01:33
106F：→ R2003 : 也没有符合order set的element infinite定义 11/24 01:34
107F：→ R2003 : 於是透过ε-δ定义出infinite的情境 11/24 01:35
108F：→ R2003 : 符合的就称为infinite，再透过数学本身建立於排中律 11/24 01:36
109F：→ R2003 : 的基础上，推论出不符合infinite情境的element可称 11/24 01:37
110F：→ R2003 : 为finite 11/24 01:37
111F：→ R2003 : 而不是从AP就莫名其妙推过来 11/24 01:39
112F：→ R2003 : 因此，当你今天声称infinite後面还有东西/意图探究 11/24 01:39
113F：→ R2003 : infinite後面是甚麽时 11/24 01:40
114F：→ R2003 : 你就无法定义何为finite element 11/24 01:40
115F：→ R2003 : 因为不是infinite有可能是finite也可能是infinite後 11/24 01:42
116F：→ R2003 : 的东西 11/24 01:42
117F：→ R2003 : 你不同时处理这，是无法证成infinite後面还有东西的 11/24 01:45
118F：→ R2003 : 况且你似乎还想重建极限，那infinite也说不清楚了 11/24 01:48
119F：推 R2003 : 另外，你的这主张会在topo上出问题(就目前所学而言) 11/24 01:54
120F：→ R2003 : 标准分析下，whole real不是compact，非常糟糕 11/24 01:55
121F：→ R2003 : 所以弄出了extended real，超棒 11/24 01:55
122F：→ R2003 : compact了(real的compactification) 11/24 01:57
123F：→ R2003 : extended real is homeomorphic to unit circle 11/24 01:59
124F：→ ginstein : 谢R大评论。AP的意义我之前没解释清楚，下次发文目 11/24 17:48
125F：→ ginstein : 标达成後，看有无简短解释。另外，标准分析中不存 11/24 17:48
126F：→ ginstein : 在无穷小与无穷大，因此必然在标准外赋予存在性。 11/24 17:48
127F：→ ginstein : 修正：数字概念的无穷小和无穷大 11/24 17:51