作者Vulpix (Sebastian)
看板Math
标题Re: [其他] 请教一题递回
时间Wed Nov 12 18:17:05 2025
※ 引述《will2004 (夏天的风)》之铭言：
: 请问各位高手
: 帮帮忙一题递回题目
: 是否推导出一般式
: 或不漂亮的closed form 也可以
: https://lurl.cc/bB6t9
: 谢谢~
先用 a_n = d_n/(3n+2)! 改写递回式：(3n+2)*a_n = Σ_{k=0}^{n-1} a_k*a_{n-k-1}
乘以 x^n 後从 1 开始累加。
这边定义一个 f(x) = Σ_{n=0}^{∞} a_n*x^n
如此，递回式就转变成 3xf'(x)+2f(x)-1 = xf(x)^2, f(0)=1/2。
令 f(x) = -3u'(x)/u(x)，方程式可以变成 9xu"(x) + 6u'(x) + u(x) = 0。
这是 Bessel equation 的一种变形，
解是 u(x) = x^{1/6}*( A*J_{1/3}(2√x/3) + B*Y_{1/3}(2√x/3) )
代入初始条件可以得到 u(x) = C*x^{1/6}*J_{-1/3}(2√x/3)
然後丢回 -3u'(x)/u(x) 就可以得到 f(x)。
f(x) 的 n 次项系数再乘以 (3n+2)! 就是 d_n 了。
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※ 编辑: Vulpix (1.160.33.80 台湾), 11/26/2025 18:17:30