作者saltlake (SaltLake)
看板Math
标题[微积] 变数变换後积分之质量观点
时间Sat Sep 27 11:05:01 2025
假如我们要计算一条线的质量，积分表达式如下:
M1 = Integral( rho(x), x = a to b)
意思是沿着 x = a 点到 b 点，累加微小元素的质量
rho(x)*dx, 即线密度乘上积分微小线段之长度。
下列变数变换应该不改变线段总质量。
y = x + c : 平移线段
y = a*x : 拉伸或压缩线段；拉伸使线段伸长的同时也
等比例减少线密度而不改变质量。压缩同理。
y = a*x + c : 平移与拉伸或压缩线段，乃上面两种变
化的叠加而都不改变质量。
这种概念可以扩展到更高维度，只要变数变换仅限於对各
维度的变数做平移与拉伸或压缩。
上面是基於物理概念去理解积分的变数做变换之後，积分
值不变。数学上有相关的定理吗? 名称是啥? 变数变换除了
上面的简单变换，可以扩增到怎样的变换?
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1F：→ madokamagika: jacobian matrix? 09/27 21:32
雅可比矩阵指的是积分做变数变换之後产生的那个矩阵--或者该说方阵?
而且记得得取该方阵的行列式之绝对值--作为积分体积的缩放比?
※ 编辑: saltlake (114.36.207.142 台湾), 09/27/2025 22:48:43