「每个自然数都是有限大吗？」一文中， 证明了 {n} >_a N^m = {1, 2, ..., m-1, m, m, ...}， 自然数数列终究大於所有的「有限」自然数生成数列。 文中追问「自然数数列 {1, 2, 3, ...} 的尽头是什麽？ 所有的有限自然数後是空了不存在吗？还是存在无穷大自然数呢？」 本文进一步明确问题意涵。 首先区分三种无穷观点，说明无穷概念的演进。 第一种且称「潜无穷」，例如由自然数 1, 2, ..., n 构成的有限数列， 可用 {..., n} = {1, 2, ..., n} 强调末项，末项 n 无上界， 可无限增加但 n 有限。第二种且称「实无穷」， 自然数数列 {n} = {1, 2, ..., n, ...} 包含了全部标准的、有限的自然数。 第三种暂称「超无穷」，是标准数学外的概念， 为了对比标准数学，需要引入新的想法与符号比较异同。 因为 {n} >_a N^m，「假设」{n} = {..., n, ... |} 的尽头， 可以延伸出、存在着暂称为超自然数数列 {n^*} = {|..., n^*, ...}， 两者之合暂称为全自然数数列 {n || n^*} = {..., n,... || ..., n^*,...}。 符号 || (简化时‘|’) 表示有限结界(有限屏障、有限壁垒， barrier of finiteness)，略过科学哲学讨论。 或可用非标准分析的超实数理解超自然数， 但本文无须依赖外部理论，可逻辑自洽，略过形式化处理。 由实数 x_1, x_2,..., x_n 构成的有限数列 {..., x_n} = {x_1, x_2, ..., x_n} 尽头存在末项 x_n。 标准数学实无穷数列 {x_n} = {..., x_n, ... ||ψ}，ψ 代表空项， 数列尽头「不存在」标准、有限分项外其它分项。 基於思维惯性，人们倾向赋予数列尽头一个数字。 存在极限 x_∞ = lim x_n 时，可将数列完备为 {..., x_n, ... | x_∞ |ψ}， 结界内是标准分项 x_n，结界上是极限 x_∞。极限不存在时称发散。 实无穷数列 {x_n} = {..., x_n, ... |} 的尽头， 不管敛散与否，「假设」可以延伸出、存在着超无穷数列 {x_{n^*}} = {| ..., x_{n^*}, ...}，且称结界外 x_{n^*} 为超(无穷)分项。 无穷数列的尽头还是无穷数列，在结构上自我相似 (self-similarity)， 概念上闭环。称 {x_{n^*}} = Lim{x_n} 为「极量」， 符号表明 {x_{n^*}} 由 {x_n} 延伸而来。 数列收敛时，结界外 Lim{x_n} 投影落在结界上 lim x_n。 数列可看成向量，其运算与关系透过对应项定义。 本文用 x R y 表示数列 x = {x_n} 和数列 y = {y_n} 恒有关系 R， 意即对标准自然数 n 恒有关系 x_n R y_n，例如 R 是 >，=，或 <。 用 x R_a y 表示数列 x 和数列 y 终究有比较关系 R， 意即存在标准自然数 N，当 n > N 时恒有 x_n R y_n。 实数 r = {r}，x R_a r 等价 {x_n} R_a {r}。 当 {x_n} R_a {y_n} 时有 Lim{x_n} R Lim{y_n}。 观察例一到例三，对比直觉、极限与极量的观点异同。 标准足标变数 n，超自然足标变数 n^*。 例一：{n} = {1, 2,..., n,...} >_a N^m = {1, 2,..., m-1, m, m,...}。 直觉：{1, 2,..., n,...} 的尽头是无穷大自然数，大过全部有限自然数 m。 极限：lim n = ∞ 发散到无穷大，分项 n 的极限不存在。 极量：对全部标准(有限)自然数 m，Lim{n} = {n^*} > Lim{N^m} = m。 例二：∀ ε > 0，0 < {1/(2^n)}={1/2, 1/4, 1/8, ...} <_a ε。 直觉：{1/(2^n)} 的尽头是正无穷小。一尺之棰，日取其半，万世不竭。 极限：lim 1/(2^n) = 0，分项 1/(2^n) 的极限是 0，不存在无穷小。 极量：∀ ε > 0，0 < Lim{1/(2^n)} = {1/(2^{n^*})} < ε， 可表示为 Lim{1/(2^n)} 例三：{1-0.1^n} = {0.9, 0.99, 0.999, ...} < {1} = 1。 直觉：{0.9, 0.99, 0.999, ...} 的尽头无限靠近 1，但恒小於 1。 极限：lim (1-0.1^n) = 1，分项 1-0.1^n 的极限是 1。 极量：Lim{1-0.1^n} = {1-0.1^{n^*}} ~ 1^-，Lim{1-0.1^n} < 1， a ~ b 等价 a - b ~ 0。 无限符号 ∞ 曾被视为数字，可以在 \sum_{n=1}^∞ 和 \int_0^∞ 等符号中发现历史痕迹。标准数学中 ∞ 不是数字。 若 ∞ 是数字，例如令 S = 1 + 2 + 4 + ...，把左右式各减去 1， S - 1 = 2 + 4 + 8 + ... = 2(1+2+4+...) = 2S，会导致 ∞ = -1 的悖论。 因为数字 ∞ 会导致矛盾，排除 ∞ 是数字，收敛必须是有限，禁止 x = ∞， 使用 x → 0 或 x → ∞ 的潜无穷观点。 潜无穷无法完备极限，接受实无穷存在，才能完备实数。 无穷大(小)极量是数值意义的无穷大(小)，可以代数操作。 令 T = Lim{\sum_{k=0}^n 2^k} = Lim{1, 3, 7, 15, ...}， T-1 = Lim{\sum_{k=0}^n 2^k-1} = Lim{0, 2, 6, 14,...}， 2T = Lim{\sum_{k=0}^n 2^{k+1}} = Lim{2, 6, 14, ...}。 把不同的无穷大极量 T-1 和 2T 视为相同， 前述悖论主因是违反同一律，而非数值无穷大(小)造成。 无穷大数列尽头的想像之物 ∞，也曾用 1/∞ 表示无穷小，但会造成悖论， 无法是数字。符号 ∞ 是思维惯性的盲点，时代的知见障吗？ 用无穷数列去定义数值无穷，或许才合理。 附注：极量定义在实数数列上，极量列的极量本文不讨论， 可使用合理限制下极量的极量概念，类似集合论合理限制集合的集合概念。 无穷数列的尽头可以存在极量，存在标准数学外的无穷数列吗？ 是标准基础内已经包含所有，标准外概念不存在(是空想吗)？ 还是如数学家戴德金所说──数字是人类心灵的自由创造(是发明吗)？ 或者是蓦然回首，无穷却在数列尽头处(是发现吗)？ 对於无穷数列的尽头，你有什麽看法？ -- At the end, it never ends. --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 219.69.12.24 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1758441568.A.C7C.html 虽说科普文, (我)还是讲究下文字.状况不好慢慢改 这段因为"自然延续"公设名称有感... 另外得改省字毛病，总想少写几个字凑成一行！ ※ 编辑: ginstein (219.69.12.24 台湾), 09/25/2025 10:15:39