作者ginstein (迈向学术之路)
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标题[其他] 反直觉或反逻辑？反思箱中球悖论
时间Thu Sep 4 01:34:09 2025
以下内容摘要自「箱中球悖论（上）」。
箱中球问题（原型）：
有一个空箱，甲乙两人轮流向箱子放球、取球，
每轮甲先放进两颗球，接着乙取出一颗球。
第一轮耗时 1 分钟，之後每轮用时减半，
总耗时是无穷等比级数，经过无穷多轮，
全部过程在两分钟时停止，之後箱中球数不再变化。
请问「最终箱子里会有多少球」？
想法一（丙）：既然每轮甲放进两颗球，乙取出一颗球，每轮箱子多一颗球，
经过无穷多轮，当然箱子里「最终有无穷多颗球」。
想法二（丁）：丁假设放球取球规则如下：
第 N 轮时，甲先放进 2N-1, 2N 号球，接着乙取出 N 号球。
具体来说，第一轮甲放进 1, 2 号球，接着乙取出 1 号球。
第二轮甲放进 3, 4 号球，接着乙取出 2 号球。
第三轮甲放进 5, 6 号球，接着乙取出 3 号球，依此类推。
丁说因为第一轮取出 1 号球，第二轮取出 2 号球，
第 N 轮取出 N 号球，依此类推。两分钟到後，经过无穷多轮，
由皮亚诺公理可知，取出所有自然数的球号，因此箱子里「最终没有球」。
更多想法可参考「箱中球悖论（中）」。
箱中球问题这类悖论的根源有多种观点，例如
「定义不良」、「叙述不清」、「条件不足」或（无穷多球的）「直觉不对」。
许多专家各有看法，目前尚无定论。
这里补充「视而不见」的观点。
想法二中，每轮取出本轮球号後，第 N 轮箱子里剩下 N+1 到 2N 号球，
经过无穷多轮，剩下无穷多颗无穷大编号的球，
把无穷多无穷大的自然数当作「不存在」，也可能是悖论根源之一。
标准分析中，为了避免经典悖论，排除无穷大(自然)数的概念，
补好西墙的代价或许是拆了东墙。
箱中球悖论的根源是定义不良？叙述不清？条件不足？直觉不对？或视而不见？
无穷大(自然)数的概念不存在吗？还是标准公理体系不够完整，
未能刻划出更多的自然数性质？关於箱中球悖论，你有什麽看法？
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At the end, it never ends.
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 219.69.12.24 (台湾)
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1F：→ ginstein : 感觉有点洗版，刚好接下来重点，会久点，一周吧。 09/04 01:36
2F：推 arrenwu : 定义不良跟叙述不清是同样的问题。然後我觉得这个 09/04 09:14
3F：→ arrenwu : 就是定论了 09/04 09:14
4F：→ ginstein : 还是有点差别，名词跟句子组织，虽然算同类啦。 09/04 13:27
5F：→ cmrafsts : 我越来越搞不懂你这系列想做什麽了。原本的问题是 09/04 15:41
6F：→ cmrafsts : 物理上不可能的。你提出的很多观点在数学上都对应不 09/04 15:42
7F：→ cmrafsts : 同的操作与极限的选择。会得到这麽多不同结果就是告 09/04 15:42
8F：→ cmrafsts : 诉我们处理极限、无穷等概念时，不能用原本处理有限 09/04 15:42
9F：→ cmrafsts : 的思维与直觉看待，甚至定义操作本身都需要额外的精 09/04 15:44
10F：→ cmrafsts : 力。尽管如此，你还是认为有一个适当的框架，可以与 09/04 15:45
11F：→ cmrafsts : 将此问题合理的解释为唯一一种操作且与现行数学语言 09/04 15:46
12F：→ cmrafsts : 相容吗？为什麽你不提出你要的结果并以此反推所需 09/04 15:47
13F：→ cmrafsts : 框架的性质来开始建立呢？ 09/04 15:48
14F：→ backpacker18: 这就是为什麽绝大部分的悖论都是ill-defined 09/04 21:17
15F：→ backpacker18: 而且都跟无限有关lol 09/04 21:18
16F：→ ginstein : c大太多？了xd 至少物理也不存在所有自然数，康托 09/04 21:53
17F：→ ginstein : 尔说过，数学的本质在於它的自由。 09/04 21:53
18F：→ ginstein : b大如果拿这些问题来问ai，回答也蛮有趣的 09/04 21:55
19F：推 backpacker18: 恩…还是要了解数学跟哲学关心的问题不一样就是了 09/04 22:19
20F：→ backpacker18: 很多没受过这方面训练的「数理爱好者」无法分辨两者 09/04 22:19
21F：→ backpacker18: 的差异 09/04 22:19
22F：→ backpacker18: 这也是为什麽国外比较专业的数学论坛会对发文有规范 09/04 22:25
23F：→ backpacker18: (即使是问一个valid的问题) 09/04 22:25
24F：→ backpacker18: 当然这里我是觉得没差 09/04 22:25