作者arrenwu (最是清楚哇她咩)
看板Math
标题Re: [中学] 想问一题国二下的题目
时间Sun Jun 22 15:02:55 2025
※ 引述《kill801113 (醉落人间)》之铭言：
: https://i.imgur.com/QXLwHls.jpeg
: 题目如图，答案是A。
: 我的问题是我能理解为什麽答案是A
: 不过解释起来却感觉没有合理的定理
: 或者够强大的条件
: 再麻烦各位版友了
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: Sent from JPTT on my iPhone
令总路线长度 Z = OA + OB + OC + AB + BC + AC
并且令 Z1, Z2 ,Z3 分别代表 路线1, 路线2, 路线3 的长度
路线一长度 Z1 = OA + OB + AC + BC = Z - (AB + OC)
同理，Z2 = Z - (BC + OA)
Z3 = Z - (AC + OB)
所以比 Z1, Z2, Z3 谁最长(路程最远)，
等於是在比
AB + OC, BC + OA, AC + OB 三个线段和谁最小？
定理1： BC + OA > AB + OC
从题目叙述已知道 BC > AB，故我们可以在 BC上取一点 A' 使得 BA'=BA。
连线段OA'可得到下图：
https://i.imgur.com/tOC9iLY.jpg
因为OB是角平分线，所以 ΔBOA 与 ΔBOA' 是 SAS全等，
进一步得到 OA = OA'
接着我们开始推导：
BC + OA - (AB + OC) = BA' + A'C + OA - (AB + OC)
= (BA'-AB) + A'C + OA -OC
= A'C + OA -OC
= A'C + OA' - OC
> 0 ( A'C, OA', OC 为三角形OCA' 的三边长)
同样地，你也可以证明
AC + OB > AB + OC
所以 AB + OC 最小，我们可得到 路线1 最远。
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1F：推 kill801113 : 谢谢～忘记可以做辅助线比大小 06/22 19:16
其实我是用代数硬干了好一大波、发现会用到 两边和大於第三边 的性质後，
才在想是不是综合几何的手段哪边可以简化性质
2F：→ musicbox810 : 请问a大代数作法要怎麽做? 06/23 13:02
令 D,E,F 分别为内心O到 BC, AC, AB 三边的垂足
https://i.imgur.com/qZQWRc9.jpg
因为O是内心，所以O到三边等距离。用 h表达该距离。
然後令 x = AE = AF, y = BF= BD, z = CE = CD
可解得 x = (b+c-a)/2, y = (c+a-b)/2, z = (a+b-c)/2
现在 AB + OC, BC + OA, AC + OB 三边的比较就变成
c + √(z^2+h^2) , a + √(x^2+h^2), b + √(y^2+h^2) 的比较
然後证明 b > c => b + √(y^2+h^2) > c + √(z^2+h^2) 即可得到结论
※ 编辑: arrenwu (98.45.195.96 美国), 06/23/2025 17:24:55
3F：推 Vulpix : 其实还是三角不等式。 06/23 18:54
4F：→ musicbox810 : 谢谢，代数看起来很复杂 06/23 19:13
5F：推 ERT312 : 代数也不会很复杂(应该国中就可以处理) 06/23 20:04
6F：→ ERT312 : 欲证 若z>y>0 则 x+z+√(y^2+h^2)>x+y+√(z^2+h^2) 06/23 20:05
7F：→ ERT312 : 右边的不等式等价於 z-y>√(z^2+h^2)-√(y^2+h^2) 06/23 20:06
8F：→ ERT312 : ={(z+y)/(√(z^2+h^2)+√(y^2+h^2))}(z-y) 06/23 20:08
9F：→ ERT312 : 明显{}里面大於零小於1，得证 06/23 20:09
10F：→ musicbox810 : 这样其实就是三角形OBC的三角不等式耶 06/23 20:36
11F：→ musicbox810 : 现在在想能不能从代数方法直接找到对应的几何证法 06/23 20:41
12F：推 Vulpix : 用s代表半周长，则有x=s-a。 06/24 00:17
13F：→ Vulpix : a+√(x^2+h^2)就是自(0,0)经(a,0)至(s,h)的折线长 06/24 00:17