※ 引述《tzhau (生命中无法承受之轻)》之铭言： : 设三次多项式函数 f(x)=ax^3+bx^2+cx+d , a不为0 , b^2-3ac>0 , : 设P为平面上任一点(可在函数上也可在函数外) : 则过P对三次函数做切线的切线数有几种可能? 又此时P会在何处? : 我的想法是可能有一条、两条与三条，但无法严谨证明 : 且麻烦的是也无法说明当切线有一条两条与三条的时候P会在哪里 : 谢谢 设 f(x) 为二次连续可微函数，设 f''(x)=0 的根 x_1, ..., x_n 为有限多个 设 T_f[I](P) 为通过点 P 且和 y = f(x) 限制在范围 I 上图形相切的 L 的数量 当 I 为全实数时，即为本题所求 T_f，且明显 T_f 可以分段相加 (Lemma 1) 设 f(x) 在 (c-e, c+e) 上可微，且过 x = c 的切线为 L 则 T_f[{c}] = 1 (在 L 上) 0 (其他) (Lemma 2) 设 f(x) 在 I = [a, b] 上连续 在 I_0 = (a, b) 上二次可微，且对任意 a<c<b 皆有 f''(c) > 0 设 L_a, L_b 为过 x=a, x=b 的切线 设 R 为 L_a, L_b, f|I 围成区域，不含边界 设 dR 为 R 的边界，但不含 L_a, L_b, f|I 彼此的交点 设 S 为 L_a, L_b 切割四区域中，不相邻且都不包含 f|I 的两区域 则 T_f[I_0] = 2 (在 R 上) 1 (在 dR 或 S 上) 0 (其他) 若 a->-inf 将 L_a 视为 x=-inf，若 b->inf 将 L_b 视为 x=inf 条件中的 f''(c) > 0 可改为 < 0 利用以上引理，设 y = f(x) 为三次函数 设 x=c 上有反曲点，L 为过反曲点的切线，I_0 = {x<c}，I_1 = {x>c} 则 T_f[I_0] = 2 (在 f|I_0 与 L|I_0 围成区域不含边界) 1 (在 f|I_0 或 L|I_0 上但不在反曲点上，或是位於 L 右侧) 0 (其他) T_f[{c}] = 1 (在 L 上) 0 (其他) T_f[I_1] = 2 (在 f|I_1 与 L|I_1 围成区域不含边界) 1 (在 f|I_1 或 L|I_1 上但不在反曲点上，或是位於 L 左侧) 0 (其他) 因此可得 T_f = 3 (在 f 与 L 围成区域不含边界) 2 (在 f 或 L 上但不在反曲点上) 1 (反曲点以及其他区域) Lemma 2 虽然直观但我没有想到严格证明，可能需要板友补充 --

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