前言： 前文请看箱中球悖论（上）篇。本篇（中）篇呈现更多论点，提供读者思考。箱中球悖论等价罗斯-利特尔伍德悖论（Ross-Littlewood paradox， 也称为球和花瓶问题，乒乓球问题），（下）篇具体说明这个悖论揭露的现代数学基础思想本质。 Ross–Littlewood paradox（罗斯—利特尔伍德悖论）: https://en.wikipedia.org/wiki/Ross–Littlewood_paradox#Vase_contains_infinitely_many_balls （上）篇：https://www.pttweb.cc/bbs/Math/M.1741953643.A.430 （中）篇：https://dreamchen-2025-github-io.pages.dev/20250321/箱中球悖论（中） 箱中球问题（原型）： 有一个空箱，甲乙两人轮流向箱子放球、取球，每轮甲先放进两颗球，接着乙取出一颗球。 第一轮耗时 1 分钟，之後每轮用时减半，总耗时是无穷等比级数，经过无穷多轮， 全部过程在两分钟时停止，之後箱中球数不再变化。请问「最终箱子里会有多少球」？ 进阶问题（二）： 箱中球问题中的最终球数，以下己认为合理假设每轮独立、均匀随机取球，「箱子里最终有球的机率是 0」。 庚认为条件不足没有唯一解，但可以增加限制，设计取球规则使得「最终是任意预设球数」。 路过的辛认为「最终球数是量子叠加态」，观察才知道。请问谁的想法合理？谁的想法不合理？哪里不合理？ 想法四（己，机率学家）： 己说合理取球方式，是乙从箱子中所有球「均匀随机」取出一球，且每轮取球是「独立」 事件，这样「最终箱子里有球的机率是 0」。 - 假设：第 r 轮甲先放进 2r-1, 2r 号球，然後乙从箱子中均匀随机取出一球，每轮取 球独立事件。 - 命题：最终箱子里有球的机率是 0。 - 引理：最终 k 号球留在箱中的机率是 0。 + 引理证明： 1. 以 1 号球为例，显然第一轮取球後，1 号球留在箱中的机率是 1/2。假设第 r (≧ 2) 轮开始 1 号球仍在箱中，甲放球後箱中球数为 (r-1)+2=r+1，乙取球後 1 号球还留 在箱中的条件机率是 1-1/(r+1) = r/(r+1)。以上第一轮机率外，其它为单轮条件机率。 2. 令 r = 1, 2, …, N，得到的(条件)机率分别为 1/2, 2/3, 3/4, …, N/(N+1)。将机 率连乘，得到第 N 轮结束後 1 号球还在箱中的机率是1/(N+1)。 3. 随着 N 变大，第 N 轮後 1 号球留在箱中的机率会趋近於 0。在假设下，1 号球最终 留在箱中的机率是 0。同理可证，最终 k 号球留在箱中的机率是 0。 - 由布尔不等式和自然数可数性，可数自然数球号最终留在箱中的机率是 0。（参考 Ross-Littlewood paradox） - 结论：「最终箱子里有球的机率是 0。」（参考随机取球模型补充说明） 布尔不等式：https://zh.wikipedia.org/wiki/布尔不等式 Ross–Littlewood paradox（罗斯—利特尔伍德悖论）: https://en.wikipedia.org/wiki/Ross–Littlewood_paradox#Vase_contains_infinitely_many_balls 想法五（庚，数理逻辑学家）： 庚认为箱中球问题条件不足没有唯一解，但可以增加取球规则（增加条件），使得最终球 数是「没有球」、「任意K颗球」或「无穷多颗球」。说明如下： - 取出最小球号规则：乙第 N 轮取出 N 号球（丁的想法二），等同每轮取出箱中最小球 号的球，结论是箱子里「最终没有球」。 - 取出偶号球规则：若乙第 N 轮总是取出 2N 号球，则所有奇号球会留在箱子中，箱子 里「最终有无穷多颗球」。 - 留下 K 颗球规则：若规定 N≦K 时，乙取出 2N 号球，第 K 轮後会留下 1到 2K-1 号 的 K 颗奇号球；N>K 时，乙取出 K 颗奇号球外的最小球号（N+K号）。具体来说，第 K+1 轮时，取走 N+K=2K+1 号球，第 K+2 轮时，取走 N+K=2K+2 号球，依此类推。因 此除了 1 到 2K-1 号的 K 颗奇号球，最终会取走 2K 号以上的所有球，所以箱子里「最 终有 K 颗球」。 想法六（辛，量子物理学家）： 此时路过的量子物理学家辛说，遇事不决，量子力学。数学家箱子里的球，或许跟薛丁格 的猫一样，需要开箱才知道真正状态！辛进一步阐述： - 问题原型中描述的放球、取球（客观）动作，并不包含放球、取球的（主观）编号规定 。增加编号规定就是增加限制，得到的是子问题的解。 - 子问题的解有许多可能，例如最终「无球」、「任意K颗球」或「无穷多颗球」的结论 都可能。 - 因此问题原型的完整解，最终球数或许可以用量子叠加态来解释，需要观察才能确定。 随机取球模型补充说明： 想法四中从箱中均匀随机取球且每轮独立的模型（简称随机模型），可用决策树模型理解 相关特性。 - 第 N 轮的分支总数为 (N+1)!，也是第一轮到第 N 轮的路径总数。因为乙取球时，第 r 轮有 r+1 种选择。第 1, …, r, …, N 轮时，分别有 2, …, r+1, …, N+1 种选择 。（由独立性）相乘得到 (N+1)!。箱子内所有球的组合（以下简称球组）是 2N 颗球扣 除乙取走的 N 颗球。不同取球路径下，球组可能相同。 - 第一轮结束後有 {1}, {2} 两种球组。第 2 轮结束後有 5 种球组，但球组 {3, 4} 有 两条路径，因为乙可以第一轮选 1 号球，第二轮选 2 号球，或者反过来第一轮选 2 号 球，第二轮选 1 号球。其他球组 {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4} 各一条路径。第一 轮到第 10 轮的球组总数分别为 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786 。 - 每个球组的路径总数和发生机率成正比。设球组 {6, 7, 8, 9, 10} 时，乙取走的球是 1, 2, 3, 4, 5 号球，有 36 = 2*3*3*2*1 条路径，乙第一轮有 2 种选择，在 1, 2 号 球中选择。乙第二轮只有3种，不可选第一轮的球号和 5 号球。第三轮也有 3 种，不可 选第一、二轮选过的球号，同理第四轮剩 2 种，第五轮剩 1 种。球组 {6, 7, 8, 9, 10} 发生机率是球组 {1, 3, 5, 7, 9} 的 36 倍，因为球组 {1, 3, 5, 7, 9} 只有一条 路径，就是乙依序取走 2, 4, 6, 8, 10 号球。 以下随机模型的特性，只陈述不说明解释，有兴趣读者可自行推导验证。 - 第 r 轮出现的球号，在第 N 轮球组中的球号出现次数，#(2r-1) = #(2r) 正比 r（ #n 表示球号 n 出现的次数，需考虑机率权重）。例如第二轮球组 {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}*2 中，#1 = #2 = 2，#3 = #4 = 4，#1 : #2 : #3 : #4 = 1 : 1 : 2 : 2。依此类推，第 r 轮球组中，球组中的球号出现机率（正比出现次数），和 轮数 r 成正比。 - 令 E[r] 表示第 r 轮後球组的期望球号，意味从第 r 轮 r 颗球中，只取一球的期望 球号。递回公式为 (r+1)E[r]= (r-1)E[r-1]+4r-1。通式为E[r]=(1+8r)/6。第一轮到第 五轮的期望球号分别为 3/2, 17/6, 25/6, 11/2, 41/6。 - 虽然随机模型性质良好，随着 N 趋近无穷，许多机率极限存在，但不意味极限随机模 型就必然存在。例如能在 {1, 2, …, N} 上假设均匀分布，但在所有自然数上假设均匀 分布是无法做到的。 - 随着 N 变大，任意有限 K 颗球完全被取走的机率会趋近於 1，其中一颗留在箱中的机 率会趋近於 0。本文中「最终箱子里有球的机率是 0」，解释为「最终箱子里有任意有限 K 颗球之一的机率是 0」，或是「最终取走任意有限 K 颗球的机率是 1」 比较合适。 -- At the end, it never ends. --

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