作者mantour (朱子)
看板Math
标题Re: [中学] 极限1题
时间Thu Mar 6 23:24:12 2025
※ 引述《deathcustom (Full House)》之铭言：
: ※ 引述《hero010188 (我是海贼王)》之铭言：
: : https://i.imgur.com/RgCksi8.png
: : 感谢~
: lim n[1/(n+1)^2 + 1/(n+2)^2 +...+1/(n+n)^2]
: n→∞
: =lim (1/n){[n/(n+1)]^2 +[n/(n+2)]^2+...+[n/(n+n)]^2}
: n→∞
: 黎曼和
: 2 2
: =∫dx/x^2 = -1/x|
: 1 1
: = -1/2 - (-1/1) = 1/2
: #
: 这个写法里面是将解黎曼和的过程写出来，其实跟Honor大的过程等价
: 另外，如果把这个算式直接丢chatgpt其实就可以看到类似的过程
: 也可以理解为什麽这两个解法等价
用夹的
n[1/(n+1)^2 + 1/(n+2)^2 +...+1/(n+n)^2]
< n[1/(n(n+1)) + 1/((n+1)(n+2)) + ... + 1/((n+n-1)(n+n))]
= n[1/n-1/(n+1)+1/(n+1)-1/(n+2) + ... + 1/(n+n-1)-1/(n+n)]
= n[1/n-1/2n] = 1/2
又
n[1/(n+1)^2 + 1/(n+2)^2 +...+1/(n+n)^2]
> n[1/((n+1)(n+2)) + 1/((n+2)(n+3)) + ... + 1/((n+n)(n+n+1)) ]
= n[1/(n+1) - 1/(n+2) + 1/(n+2) - 1/(n+3) + ... + 1/(n+n) - 1/(n+n+1)]
= n[1/(n+1) - 1/(2n+1)]
= n^2/((n+1)(2n+1)
= 1/((1+1/n)(2+1/n))
而
lim 1/((1+1/n)(2+1/n)) = 1/2
n->∞
下界和上界的极限相等
由夹挤定理得证所求极限为1/2
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 36.224.33.70 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1741274655.A.CED.html
※ 编辑: mantour (36.224.33.70 台湾), 03/06/2025 23:25:07