作者arrenwu (最是清楚哇她咩)
看板Math
标题Re: [中学] 请问数A的综合题
时间Fri Jan 24 14:00:42 2025
※ 引述《jenshi (小旭)》之铭言：
: → musicbox810 : 线性变换跟矩阵表示不是等价的吗？ 01/23 22:38
: → musicbox810 : 可以请几位大大开示一下吗？我这部分可能没有学好 01/24 07:20
: → musicbox810 : E大的意思我懂。我可能没有说清楚，想问的是要怎麽 01/24 11:13
: → musicbox810 : 证明矩阵是一种线性变换？ 01/24 11:14
: → musicbox810 : 因为我以前在教科书上书本直接用矩阵乘开後的结果当 01/24 11:14
: → musicbox810 : 作线性变换的定义，所以是当成同一回事，连证明互为 01/24 11:15
: → musicbox810 : 等价的动作都没有，所以我才突然惊觉该怎麽证明 01/24 11:15
在Vector Space上的线性变换跟 矩阵表示 确实是等价的没错
你在问的问题其实是：
怎麽证明 旋转 的行为是一个对座标的线性变换？
首先，
让我们写出 旋转 的公式
给定一个点 P(x,y)，距离原点为r，与x轴逆时针夹角为θ。
将P顺时针旋转 φ後，请问P的座标为何？
原本
x = rcosθ
y = rsinθ
旋转後的座标 (x', y') 则为
x' = rcos(θ+φ)
y' = rsin(θ+φ)
用三角函数的和角公式展开整理可以得到
x' = rcosθcosφ - rsinθsinφ = cosφx - sinφy
y' = rsinθcosφ + rcosθsinφ = sinφx + cosφy
所以如果我们把 旋转φ 写成函数 f_φ，
则可以得到
f_φ((x,y)) = (cosφx - sinφy, sinφx + cosφy)
好，下一步就是
证明 f_φ 是线性变换
主要需要证明两点
(1) 给定任意两点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，
我们都有 f_φ((x1,y1)+(x2,y2)) = f_φ((x1,y1)) + f_φ((x2,y2))
(2) 给定任意一点 (x,y) 以及常数 c，
我们都有 f_φ((cx, cy)) = cf_φ((x, y))
这个很直白啦，自己尝试做做看吧
不过要证明线性的函数可以写成一个
等价的矩阵，
还需要证明二次元座标是个 vector space。
但是啦，只是要得到旋转的公式，不需要知道任何线性代数的知识。
另外，因为没有引入 vector space，高中的矩阵跟没教一样。
本质上就是把一些关系式的系数写成长方形的样子
所有的问题，你不知道"矩阵"仍然都做得出来
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1F：→ musicbox810 : 谢谢a大，唤醒了我记忆中线性空间的定义，我竟然连 01/24 23:01
2F：→ musicbox810 : 最基本的定义都忘掉了... 01/24 23:02
3F：→ musicbox810 : T(au+v)=aT(u)+T(v) 01/24 23:02
4F：推 Vulpix : 只要无穷小旋转是就是了。 01/24 23:03
5F：→ musicbox810 : 什麽意思? 01/24 23:11
6F：→ musicbox810 : V'=V-φLV? 01/24 23:25
7F：→ mantour : 三维的有限旋转就不是线性的，先以x轴转90度再以y 01/25 20:47
8F：→ mantour : 轴转90度，跟先以y轴转90度再以x轴转90度的结果不 01/25 20:47
9F：→ mantour : 一样 01/25 20:47
10F：→ mantour : 不知道V大讲的是不是这件事 01/25 20:47
11F：→ musicbox810 : 那样比较像是不互易的问题 01/26 00:21
12F：→ mantour : 对耶 是我搞错 01/26 00:51
13F：→ topstr : 高中连Markov matrix也有教,这辈子从来没应用过, 01/27 02:23
14F：→ topstr : 哪来高中没教过vt. space,就不算学过矩阵, 01/27 02:24
我说的是「跟没教一样」
「算不算学过矩阵」不是有意义的问题
15F：→ topstr : 那没学过1+1=2的证明,就是没学过数学吗！？ 01/27 02:26
有人这样说吗？
16F：→ topstr : 高中微积分没教δε,所以高中没教微积分！！ 01/27 02:28
有人这样说吗？
17F：→ topstr : 那是不是高中也要去学Godel不完备定理,才叫学过数学 01/27 02:31
有人这样说吗？
18F：→ topstr : 高中没教Einstein eq.高中重力理论跟没教一样. 01/27 03:00
有人这样说吗？
19F：→ topstr : 牛顿没学过δε证明,所以他不会微积分！？ 01/27 03:04
有人这样说吗？
20F：→ topstr : 所以高中应该搞Bourbaki那一套抽象化,不需要直觉慢 01/27 03:16
21F：→ topstr : 慢逐渐建立起数学观念！? 01/27 03:16
有人这样说吗？
不好意思，我其实最想知道的事：
你说的这些跟我的文章有冲突的部分吗？
22F：嘘 topstr : 你是第2个说没学vt.sp.跟没教matrix 一样 01/27 17:20
23F：嘘 topstr : 凸显你论点的荒谬,照你那样说,不就类比 01/27 17:29
24F：→ topstr : 老师没教,学生没学 不就同样情况. 01/27 17:31
你要说跟没学过矩阵一样倒是没啥问题。
只是我还是有同样的问题：
你说的这些跟我的文章有冲突的部分吗？
你与其举那些不太好懂的例子，还不如说明：
高中矩阵课程内容能帮助学生解什麽本来不好解或近乎无法解决的问题？
※ 编辑: arrenwu (98.45.195.96 美国), 01/28/2025 10:18:32