※ 引述《musicbox810 (结束是一种开始)》之铭言： : 何不从定义开始呢？假设在x=a的邻域g(x)=g(a) 这种情况应该是x在a的某邻域(扣掉a)内有无限多点满足g(x)=g(a) : lim [h(x)-h(a)]/(x-a) = lim [h(g(x))-h(g(a))]/(x-a) = lim 0/(x-a) = 0 : x->a x->a x->a 这种情况没办法直接推得h'(a)=0，除非条件有给h'(a)存在 不过连锁律没有给这个条件，所以还是得借助u(x) : 而且g'(a)=0，f'(x)存在的情况下，f'(g(a))是什麽值不重要，只要是有限就好。 : lim [h(x)-h(a)]/(x-a) = 0改写成f'(g(x))*0一样满足f'(g(a)) * g'(a)的结果， : x->0 : 所以可以直接沿用g(x)≠g(a)情况下的连锁律形式。 若当g(x)=g(a)时把u(x)定义成不等於f'(g(a)) 则虽然claim1仍然成立，但claim2不成立 因此就不能直接套用极限的运算规则了 这时候可以把u(x)分成两种情况 (一):存在δ1>0 for all x s.t. 0<|x-a|<δ1 => g(x)≠g(a) 这种情况可以证明lim(x→a) u(x)=f'(g(a))≠u(a) 因此虽然u(x)在a点不连续，但不妨碍取极限 这个证明很简单，只要δ取得比δ1还小 可以保证x趋近a的过程不会踩到g(x)=g(a)的点 又由g在x=a的连续性，x→a可以改写为g(x)→g(a) 再加上f(x)在x=g(a)的可微性，可得出u(x)→f'(g(a)) as x→a 不过这种情况其实也可不借助u(x)得出chain rule 麻烦的是(一)以外的情况 (二):一以外的情况就是一的否定 For all ε>0 there exists an x s.t. 0<|x-a|<ε and g(x)=g(a) 这种情况a的任一邻域内都包含无限多点x使得g(x)=g(a) 此时可证明若g(x)在a可微，g'(a)必等於0 m大有兴趣可用反证法证看看 这时候由claim1取极限仍可得出chain rule 只不过不是用极限的四则运算 而是套用另一个定理 若 f(x)=g(x)*h(x) 且 g(x)有界 and h(x)→0 as x→a 则 f(x)→0 as x→a 然後这种情况没办法直接得出一开头说的h'(a)=0 所以我才说m大的写法有瑕疵 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 111.255.207.173 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1733962833.A.7A5.html 那个练习证明可以这样写 若f'(a)=L≠0，则 For all ε>0 there exists a δ>0 for all x s.t. 0<|x-a|<δ => |[f(x)-f(a)]/(x-a)-L|<ε 取 ε=|L/2| 且取f(x)=f(a)的x 易知上述不可能 上述的否定为 There exists an ε>0 for all δ>0 there exists an x s.t. 0<|x-a|<δ and |[f(x)-f(a)]/(x-a)-L|≧ε ("若P则Q"的否定是"P且非Q") 极限 lim (f(x)-f(a))/(x-a)=L 的正式定义是 x→a For all ε>0 there exists a δ>0 for all x s.t. 0<|x-a|<δ => |[f(x)-f(a)]/(x-a)-L|<ε 上述的 for all x 通常会省略 但是否定叙述的 there exists an x 不能省略 其中 ε、δ、x都是哑变数 ※ 编辑: ERT312 (111.255.199.140 台湾), 12/17/2024 23:07:41 可微的话上述的L也要变成哑变数 There exists a L for all ε>0 there exists a δ>0 for all x s.t. 0<|x-a|<δ => |[f(x)-f(a)]/(x-a)-L|<ε 不可微就是上述的否定，很长一串 XD ※ 编辑: ERT312 (111.255.199.140 台湾), 12/17/2024 23:19:49 ※ 编辑: ERT312 (111.255.199.140 台湾), 12/17/2024 23:33:46