抱歉，因为疑问需要打公式，就回一篇。 为了版面整洁，恕删部分前文内容 ※ 引述《arrenwu (最是清楚哇她咩)》之铭言： : ※ 引述《oyasmy (oyasmy)》之铭言： : : 在Stewart的书中 连锁律证明的上半部分是这样 : 这证明过程看起来还真是有点花，让我们换个角度来看好了 : 微分的连锁律 : 给定两函数 f(x), g(x)，并且定义合成函数 h(x) = f(g(x)) : 连锁律：如果在x=a, g'(a) 与 f'(g(a)) 都存在， : 试证 h'(a) 存在且 h'(a) = f'(g(a))*g'(a) : 我们在取极限的时候，x->a 有个基本的假设是 x≠a : 所以分母写 (x-a) 是 well-defined， : 但是！我们并没有保证过 (g(x)-g(a)) 不等於零。 : 也就是说， : [f(g(x))-f(g(a))]/(x-a) = [f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a))*[g(x)-g(a)]/(x-a) : 这个写法本身就隐含着"g(x)-g(a)不等於零"的意涵。 : (不然你也没办法放在分母了) : 那麽，我们有 "x≠a的时候，g(x)-g(a)不等於零" 这项假设吗？ : 很遗憾地，没有。 : 所以这时候数学分析的技术开始介入了！ : 让我们来看个比较严谨的数学证明 : 问题出在 f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a)，我们就来处理这部分吧 : 所以我们定义一个快乐函数 u(x) = f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a)), g(x)≠g(a) : f'(g(a)) , g(x)=g(a) : 因为绝对不可能有一个 x 使得 g(x)=g(a) 与 g(x)≠g(a) 同时成立， : 所以这函数是 well-defined的 : 定义这函数干嘛呢？ : Claim1:对於任意 x≠a 我们有 : [h(x)-h(a)]/(x-a) = u(x)*[(g(x)-g(a)]/(x-a) : <Proof of Claim1> : 这个证明很直接，就讨论 g(x) = g(a) 和 g(x) ≠ g(a) 的情况 [h(x)-h(a)]/(x-a) = u(x)*[(g(x)-g(a)]/(x-a)只适用g(x)≠g(a)的情况 不适用於g(x)=g(a)的情况吧？ [h(g(x))-h(g(a))]/(x-a)应该=0当g(x)=g(a) 如果 [h(g(x))-h(g(a))]/(x-a) = f'(g(a))[(g(x)-g(a)]/(x-a)当g(x)=g(a)， 只能说造出了一个跟原本99%像而已的[H(g(x))-H(g(a))]/(x-a)。 : 有了Claim1之後，距离目标就不远了 : 毕竟 lim [(g(x)-g(a)]/(x-a) = g'(a) 是已知条件 : x->a : 下一步就仅剩下证明 lim u(x) = f'(g(a)) : x->a : 有这个条件的话，就可以得到 : lim [h(x)-h(a)]/(x-a) = lim u(x)*[(g(x)-g(a)]/(x-a) : x->a x->a 　　　　　　　　　　　　　　　　　当g(x)=g(a)时，请问等号为什麽会成立？ 这一步看不懂... : = lim u(x)* lim [(g(x)-g(a)]/(x-a) : x->a x->a : = f'(g(a)) * g'(a) !!!!!!! 强迫给u(a)的值目的就在这里吧？ 但是这种作法，我觉得只是为了要继续适用当g(x)=g(a)时的f'(g(a)) * g'(a)结果， 实际上是人为故意赋予f(g(a))-f(g(a))]/(g(a)-g(a))=0/0一个新值，有点倒果为因， 先射箭(认定连锁律形式不变)，再画靶(定义u(a))，只为套用f'(g(a)) * g'(a)的结果。 何不从定义开始呢？假设在x=a的邻域g(x)=g(a) lim [h(x)-h(a)]/(x-a) = lim [h(g(x))-h(g(a))]/(x-a) = lim 0/(x-a) = 0 x->a x->a x->a 而且g'(a)=0，f'(x)存在的情况下，f'(g(a))是什麽值不重要，只要是有限就好。 lim [h(x)-h(a)]/(x-a) = 0改写成f'(g(x))*0一样满足f'(g(a)) * g'(a)的结果， x->0 所以可以直接沿用g(x)≠g(a)情况下的连锁律形式。 : Claim2: u(x) 在 x=a 时连续 : <Proof of Claim2> : 想要证明这件事情，必须证明 : 对於任意ε>0，都存在一个η>0 使得 : |x-a| < η => |u(x)-u(a)| < ε : 当然， u(a) = f'(g(a)) 是显而易见啦 : 证明开始罗！ : 已知 f'(g(a)) 存在，所以对於任意ε>0，都存在一个δ>0使得 : y≠g(a) 且 |y-g(a)| < δ => |[f(y)-f(g(a))]/(y-g(a))- f'(g(a))|<ε : 用g(x)带入y可得到 : 对於任意ε>0，都存在一个δ>0使得 : g(x)≠g(a) 且 |g(x)-g(a)| < δ : => |[f(g(x))-f(g(a))]/(g(x)-g(a))- f'(g(a))|<ε : => |u(x)- f'(g(a))|<ε ..... (1) : 同时，任何情况下，只要 g(x) = g(a)，u(x) 即等於 f'(g(a)) .... (2) : 综合(1),(2)我们可以得到 : 对於任意ε>0，都存在一个δ>0使得 : |g(x)-g(a)| < δ => |u(x)- f'(g(a))|<ε ...... (3) : 另一方面因为 g'(a)存在，所以g(x)在 x=a 时必定连续 : 所以 : 对於任意 δ > 0 ，必然存在一个 η>0 使得 : |x-a| < η => |g(x)-g(a)| < δ .......... (4) : 综合 (3),(4)，我们可以得到 : 对於任意ε>0，都存在一个 η>0 使得 : |x-a| < η => |u(x)- f'(g(a))|<ε Q.E.D : 好，既然我们现在有了 u(x) 在 x=a 时候连续， : 自然就有 lim u(x) = u(a) = f'(g(a)) : x->a : 之後可以欢乐地使用 chain rule了 :D --

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