作者deathcustom (Full House)
看板Math
标题Re: [中学] 几何证明题
时间Wed Nov 20 13:56:38 2024
※ 引述《AquaCute (水色铜碲)》之铭言：
: ※ 引述《glmm (绿岛(俺是复活岛岛主))》之铭言：
: : 如下图
: : https://i.imgur.com/sP7z79s.jpeg
: : 请问给定随意的两个正方形，试证 x : y ＝ 1 : 根号2
: : 目前我可以用特殊的图形求解出 x : y ＝ 1 : 根号2
: : 但我还找不出一般图形要如何解？
: 我也觉得图画错了 符合x : y = 1 : 根号2的图长这样：
: https://i.imgur.com/R7yXgZn.png
: 连BD、DF，我们来证明三角形DAE与三角形DBF相似：
: 1. 三角形DAB是等腰直角三角形 => DB长 = 根号2 * DA长
: 2. 三角形DEF是等腰直角三角形 => DF长 = 根号2 * DE长
: 3. 角ADE + 45度 = 45度 + 角BDF => 角ADE = 角BDF
: 因此三角形DAE与三角形DBF相似(SAS)
: => x : y = 1 : 根号2
考虑一个正方形(大正方形)边长为L
四角座标为(0,0) (L,0) (0,L) (L,L)
假设有一条直线长度为L1>=L, 第一端落於(A,0), A<=L
其第二端落於(A,L1)
其与正方形的交点为(A,L)
考虑(0,L)与(A,L1)
得到小正方形的下方顶点为((L1-(L-A))/2,(L1+(L-A))/2)
考虑(0,0)与(A,L)连线
x/A=y/L
如果小正方形下方顶点落於上述连线上，则
[L1-(L-A)]*L = [L1+(L-A)]*A
L1*L - L^2 + AL = L1*A + LA - A^2
L1*(L-A) = (L+A)(L-A)
1. L=A
小正方形下方顶点为
(L1/2,L1/2)
长度为L1/sqrt(2)
X线段长为L1/sqrt(2)
Y线段长为L1, 两者比为X:Y = 1:sqrt(2) #
2. L1 = L+A
小正方形下方顶点为
(A,L) =>落在大正方形的上缘，这也表示(暗示)A=L
Y线段长 2L, X线段长L*sqrt(2)
两者比为X:Y=1:sqrt(2) #
重点：X线段的延伸与Y线段相交的位置在大正方形的上缘
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1F：→ LPH66 : 其实一样, 加你这条件就能得出只会是原 PO 做的 11/20 19:42
2F：→ LPH66 : 那两种状况 11/20 19:43
考虑L = A = 10, L1 = 10+2x
根据上面条件，小正方形的其中三顶点座标为
(0,10), (10,10+2x), (5+x,5+x)
A C B
三者定义了小正方形(想像一下一个小正方形ABCD)边上的两个向量为
AB向量为：(5+x,-5+x)
BC向量为：(5-x,5+x)
可以看到这是正交且等长的两个向量
换句话说，不管x的值为何，只要符合L=A(Y线段刚好坐落在大正方形右侧边上)
那有无限多解可以解得到符合要求的X:Y = 1:sqrt(2)
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※ 编辑: deathcustom (211.23.191.211 台湾), 11/21/2024 08:59:27
※ 编辑: deathcustom (211.23.191.211 台湾), 11/21/2024 09:05:31