※ 引述《oyasmy (oyasmy)》之铭言： : ※ 引述《mantour (朱子)》之铭言： : : 仔细看一下, 他的论证逻辑可以改写成以下型式 : : (1) 容易验证n=1和n=2成立 : : (2) 若n=k和n=k+1都成立, 则n=k+2也成立 : : (3) 根据数学归纳法得证 : : 怎麽证明(2)呢 : : 就是利用中间的lemma : : 当 n=k+2时 : : 对任意x_1~x_(k+2) : : 存在 a,b 属於 {1~k+2} : : 使得t=-(x_a+x_b)/2时 : : ΣΣ|x_i+x_j+ 2t| 有最小值 : : 此时 : : 右式 = ΣΣ|x_i+x_j+ 2*0| , i,j=1~k+2 : : >= ΣΣ|x_i-x_a + x_j-x_b| : : 若 a=b, 不失其一般性设a=b=k+2 : : 右式 >= ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)| , i,j = 1~k+2 : : = ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)| , i,j = 1~k+1 : : + Σ|x_i-x_(k+2) + x_(k+2)-x_(k+2)| , i=1~k+2 : : + Σ|x_(k+2)-x_(k+2) + x_j - x_(k+2)|, j=1~k+1 : : = ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)|, i,j=1~k+1 : : + Σ|x_i-x_(k+2)| , i=1~k+1 : : + Σ|x_j-x_(k+2)| , j=1~k+1 : : = ΣΣ|x'_i+x'_j| + 2*Σ|x'_i| , i,j=1~k+1 (x'_i=x_i-x_(k+2)) : : >= ΣΣ|x'_i-x'_j| + 2*Σ|x'_i| , i,j=1~k+1 (因为n=k+1成立) : : = ΣΣ|x_i- x_j| , i,j = 1~k+2 : : = 左式 : : 所以n=k+2时也成立 : : --------------------- : : 若a不等於b, 不失其一般性设a=k+1, b=k+2 : : 後面有点懒得写总之应该是平移让 x'_(k+1) + x'_(k+2) = 0 : : 右式变成前k项两两相加的绝对值 + |其他+x'_(k+1)|+ |其他+x'_(k+2)| : : 带入 n=k项的不等式, 再平移还原回左式 人还是不能偷懒 自己的坑自己填 当a不等於b时 不失其一般性设a=k+1, b=k+2 t=(x_(k+1)+x_(k+2))/2 右式>=ΣΣ|x_i-t + x_j-t|;i,j=1~k+2 ; 令x_i'=x_i'- t ; 此时 x'_(k+1) + x'_(k+2) = 0 =ΣΣ|x_i-t + x_j-t|;i,j=1~k+2 =ΣΣ|x'_i + x'_j|;i,j=1~k +2Σ|x'_i + x'_(k+1)|;i=1~k ; x'_(k+1) = -x'_(k+2) 带入 +2Σ|x'_i + x'_(k+2)|;i=1~k ; x'_(k+2) = -x'_(k+1) 带入 +2|x'_(k+1)+x'_(k+2)| ; x'_(k+1) + x'_(k+2) = 0 带入 +2|x'_(k+1)| + 2|x'_(k+2)| >=ΣΣ|x'_i - x'_j|; i,j=1~k +2Σ|x'_i - x'_(k+1)|;i=1~k +2Σ|x'_i - x'_(k+2)|;i=1~k +2|x'_(k+1) - x'_(k+2)| ; by 三角不等式 =ΣΣ|x'_i - x'_j|; i,j=1~k+2 =ΣΣ|x_i-x_j|; i,j=1~k+2 : 我很闲所以把m大的方法补齐 : 右式>=ΣΣ|x_i-x_(k+1)+x_j-x_(k+2)|;i,j=1~k+2 : =化简 : =ΣΣ|x_i-x_(k+1)+x_j-x_(k+2)|;i,j=1~k : +2Σ|x_i-x_(k+1)|;i=1~k : +2Σ|x_j-x_(k+2)|;j=1~k : +2|x_(k+1)-x_(k+2)|;令x_i'=x_i-x_(k+1),x_j'=x_j-x_(k+2) : =ΣΣ|x_i'+x_j'|;i,j=1~k : +2Σ|x_i'|;i=1~k : +2Σ|x_j'|;j=1~k : +2|x_(k+1)-x_(k+2)| : >=ΣΣ|x_i'-x_j'|;i,j=1~k (因为n=k成立) : +2Σ|x_i'|;i=1~k : +2Σ|x_j'|;j=1~k : +2|x_(k+1)-x_(k+2)| : =ΣΣ|x_i-x_j|;i,j=1~k+1 : +2Σ|x_j'|;j=1~k : +2|x_(k+1)-x_(k+2)| : =ΣΣ|x_i-x_j|;i,j=1~k+2 : =左式 ※ 引述《oyasmy (oyasmy)》之铭言： : ※ 引述《mantour (朱子)》之铭言： : : 仔细看一下, 他的论证逻辑可以改写成以下型式 : : (1) 容易验证n=1和n=2成立 : : (2) 若n=k和n=k+1都成立, 则n=k+2也成立 : : (3) 根据数学归纳法得证 : : 怎麽证明(2)呢 : : 就是利用中间的lemma : : 当 n=k+2时 : : 对任意x_1~x_(k+2) : : 存在 a,b 属於 {1~k+2} : : 使得t=-(x_a+x_b)/2时 : : ΣΣ|x_i+x_j+ 2t| 有最小值 : : 此时 : : 右式 = ΣΣ|x_i+x_j+ 2*0| , i,j=1~k+2 : : >= ΣΣ|x_i-x_a + x_j-x_b| : : 若 a=b, 不失其一般性设a=b=k+2 : : 右式 >= ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)| , i,j = 1~k+2 : : = ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)| , i,j = 1~k+1 : : + Σ|x_i-x_(k+2) + x_(k+2)-x_(k+2)| , i=1~k+2 : : + Σ|x_(k+2)-x_(k+2) + x_j - x_(k+2)|, j=1~k+1 : : = ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)|, i,j=1~k+1 : : + Σ|x_i-x_(k+2)| , i=1~k+1 : : + Σ|x_j-x_(k+2)| , j=1~k+1 : : = ΣΣ|x'_i+x'_j| + 2*Σ|x'_i| , i,j=1~k+1 (x'_i=x_i-x_(k+2)) : : >= ΣΣ|x'_i-x'_j| + 2*Σ|x'_i| , i,j=1~k+1 (因为n=k+1成立) : : = ΣΣ|x_i- x_j| , i,j = 1~k+2 : : = 左式 : : 所以n=k+2时也成立 : : --------------------- : : 若a不等於b, 不失其一般性设a=k+1, b=k+2 : : 後面有点懒得写总之应该是平移让 x'_(k+1) + x'_(k+2) = 0 : : 右式变成前k项两两相加的绝对值 + |其他+x'_(k+1)|+ |其他+x'_(k+2)| : : 带入 n=k项的不等式, 再平移还原回左式 : 我很闲所以把m大的方法补齐 : 右式>=ΣΣ|x_i-x_(k+1)+x_j-x_(k+2)|;i,j=1~k+2 : =化简 : =ΣΣ|x_i-x_(k+1)+x_j-x_(k+2)|;i,j=1~k : +2Σ|x_i-x_(k+1)|;i=1~k : +2Σ|x_j-x_(k+2)|;j=1~k : +2|x_(k+1)-x_(k+2)|;令x_i'=x_i-x_(k+1),x_j'=x_j-x_(k+2) : =ΣΣ|x_i'+x_j'|;i,j=1~k : +2Σ|x_i'|;i=1~k : +2Σ|x_j'|;j=1~k : +2|x_(k+1)-x_(k+2)| : >=ΣΣ|x_i'-x_j'|;i,j=1~k (因为n=k成立) : +2Σ|x_i'|;i=1~k : +2Σ|x_j'|;j=1~k : +2|x_(k+1)-x_(k+2)| : =ΣΣ|x_i-x_j|;i,j=1~k+1 : +2Σ|x_j'|;j=1~k : +2|x_(k+1)-x_(k+2)| : =ΣΣ|x_i-x_j|;i,j=1~k+2 : =左式 --

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