※ 引述《Lanjaja ()》之铭言： : 各位先进好， : 我想请问一道以前没有看过的不等式证明。 : 题目是这样：对於x_i均非负数，i=1~n : 试证：(x_1+x_2+...+x_n)/n ≧ √((x_1x_2+x_1x_3+...+x_{n-1}x_n)/C(n,2)) 总之先证证看前面那条式子。 建构一个 P(x) = (x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n) 把 P(x) 展开得到一个多项式，记为 x^n-Σ_1 x^{n-1}+Σ_2 x^{n-2}+...+(-1)^n Σ_n 不难知道 Σ_1 = x_1+x_2+...+x_n 而 Σ_2 = x_1x_2+x_1x_3+...+x_{n-1}x_n 然後我们参考一下这个定理： 设P(x)是n次实系数多项式，若P(x)的根都是实数，则P'(x)的根也都是实数。 证明请参照：https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1296297333.A.AC2.html 显然我们的 P(x) 是只有实根的多项式。 所以他的 n-2 阶导函数 (n!/2!)x^2 - (n-1)!Σ_1 x + (n-2)!Σ_2 也只有实根， 除以 n!/2! 後也不改变这件事。 所以 x^2 - (2Σ_1/n) x + Σ_2/C(n,2) = 0 有两个实根。 其判别式非负，即 4Σ_1^2/n^2 - 4Σ_2/C(n,2) ≧ 0。 整理过後得到 Σ_1/n ≧ (Σ_2/C(n,2))^0.5，得证。 可是当我想要尝试用三实根的判别式如法炮制的时候，会很卡。 虽然做得出来，但最後要看一个不是很好看的函数的最大值。 （即使微分就完事，还是不好看。） 总之尝试着打出来看看怎麽证明 (Σ_2/C(n,2))^0.5 ≧ (Σ_3/C(n,3))^{1/3}。 为了方便起见，改用跟 wiki 一样的记号表达：S_2^0.5 ≧ S_3^{1/3}。 首先，把之前做好的 P(x) 微分 n-3 次， 可以知道 x^3-3S_1 x^2+3S_2 x-S_3 恰有三实根。 所以判别式非正，即 (-3S_1S_2/2+S_1^3+S_3/2)^2-(S_1^2-S_2)^3 ≦ 0。 针对 S_3 整理一下，并且只看 S_3 的上界： S_3 ≦ 2(S_1^2-S_2)^1.5 - 2S_1^3 + 3S_1S_2 ＝ S_2^1.5 * ( 2(k-1)^1.5 - 2k^1.5 + 3k^0.5 ) 其中 k = S_1^2/S_2 ≧ 1。 然後研究一下 f(k) = 2(k-1)^1.5 - 2k^1.5 + 3k^0.5 从 f'(k) = 3(k-1)^0.5 - 3k^0.5 + 1.5/k^0.5 = 3( 1/(2k^0.5) - 1/((k-1)^0.5+k^0.5) ) < 0 所以可以知道 f 递减，最大值发生在 k=1，所以最大值 f(1)=1。 那麽 S_3 ≦ S_2^1.5 就证明出来了，最後整理一下即可。 可是这样搞，後面的不等式会真的很不好做。 像是 S_4^0.25 ≦ S_3^{1/3} 之类的。 --

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