作者Lanjaja ()
看板Math
标题[代数] 级数的不等式证明
时间Sun Sep 15 23:34:16 2024
想问一道不等式证明：
设a_1 ≦ a_2 ≦ ... ≦ a_n，a_i不限正负。
定义A_k =Σ_(i=1 to k) a_i
A'_k = Σ_(i=1 to k) a_σ(i)
σ(i)是i的置换permutation
证明对所有的k=1~n，A_k≦A'_k都成立。
请问强者应该要怎麽证明这个A_k的性质？
感谢回答～
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1F：→ mantour : 最小的前k项和<=任意k项的和 09/16 00:32
2F：→ mantour : 证明就重排後的前k项如果不是a_1~a_k的重排，那不 09/16 00:39
3F：→ mantour : 在a_1~a_k的项都比a_1~a_k大 09/16 00:39
4F：→ musicbox810 : 这个问题以前也想过，可是当k越大，正序加的越大， 09/16 09:45
5F：→ musicbox810 : 乱序加的越少，难道没有可能正序弯道超车，最後两种 09/16 09:46
6F：→ musicbox810 : 和达到相同的值吗？想请问m大要怎麽排除? 09/16 09:47
7F：→ mantour : 1-100 任取n项比总和大小，我取1~n，你要怎麽取才 09/16 11:09
8F：→ mantour : 会比我小？ 09/16 11:09
9F：→ mantour : 乱序越加越小，也顶多跟1~N项的和相等（当乱序的前 09/16 11:12
10F：→ mantour : N项刚好是1~N项的重排时） 09/16 11:12
11F：→ musicbox810 : 谢谢m大，我再想想看。我可能把增量幅度搞混进去了 09/16 13:49
12F：→ Lanjaja : 感谢M大的解答 09/16 21:55
13F：→ mantour : 刚想到照music大的思路也可以的解释了 09/17 22:11
14F：→ mantour : 因为a_1~a_n的总和是固定的，所以後面还没加的项越 09/17 22:18
15F：→ mantour : 小，反而表示前面的总和越大 09/17 22:18
16F：→ musicbox810 : m大可以再解释一下吗？ 09/18 08:48
17F：→ mantour : 呃 可能你再描述一下问题 才知道怎麽解释 09/19 00:32
18F：→ mantour : 如果100个数，本来最後三个数是98,99,100重新排列 09/19 08:26
19F：→ mantour : 後最後三项变成3,2,1，A_97 - A'_97=?, A_98-A'_98 09/19 08:26
20F：→ mantour : =?, A_99-A'_99=?, A_100-A'_100=? 09/19 08:26
21F：→ musicbox810 : 我的疑问是重排的A_k'有无可能在某k被A_k超越，然後 09/19 19:45
22F：→ musicbox810 : A_k'再重新超越A_k，或者之後都没超越A_k，只在最後 09/19 19:45
23F：→ musicbox810 : 两个都相等 09/19 19:45
24F：→ musicbox810 : 在想有没有反证法否决掉这个可能 09/19 19:50
25F：→ mantour : 可以追平，无法超前 09/19 20:28
26F：→ mantour : 如果这样呢？ 09/19 20:36
27F：→ mantour : 假设a'1+...+a'k>a1+...+ak 09/19 20:37
28F：→ mantour : 把a'1~a'k也由小排到大 09/19 20:37
29F：→ mantour : 更正，不用排序 09/19 20:43
30F：→ mantour : 上面写错重来 09/19 20:44
31F：→ mantour : 如果a'1+...+a'k<a1+...+ak 09/19 20:52
32F：→ mantour : 那把a‘1~a‘k重新排序就可以得到一个原数列的k项 09/19 20:55
33F：→ mantour : 递增子数列，比a1~ak小 09/19 20:55
34F：→ mantour : 这样应该可以导出与a1~ak是最小的前n项矛盾 09/19 20:57
35F：→ musicbox810 : 谢谢m大，我觉得我想要反证的结果，反而最後还是回 09/21 18:43
36F：→ musicbox810 : 到正面证法 09/21 18:43