作者mantour (朱子)
看板Math
标题Re: [中学] 二项展开式和线性近似之关系
时间Wed Aug 28 13:41:42 2024
※ 引述《saltlake (SaltLake)》之铭言：
: ※ 引述《Honor1984 (奈何上天造化弄人？)》之铭言：
: 如果是更一般的状况呢?
: A = 1-Pi( 1- a(i), i = 1 to n)
: B = sum( a(i), i = 1 to n)
: A 和 B 之间也有先前的关系吗?
若 0 <= a(i) < 1
令
A' = 1-A = Pi( 1- a(i), i = 1 to n)
B' = 1-B = 1 - sum( a(i), i = 1 to n)
n=1 时 A' = B'
设n=k时 A' >= B'
n=k+1时
A' = Pi(1-a(i), i=1 to k+1)
= Pi(1-a(i), i=1 to k) * (1-a(k+1))
>= (1 - sum( a(i), i=1 to k))*(1-a(k+1))
= 1 - a(k+1) - sum(a(i), i=1 to k) + a(k+1)*sum(a(i), i=1 to k)
= 1 - sum(a(i), i=1 to k+1) + a(k+1)*sum(a(i), i=1 to k)
>= B'
由数学归纳法 A'>=B', 即 A <= B for all n
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※ 编辑: mantour (223.137.182.112 台湾), 08/28/2024 13:42:46
※ 编辑: mantour (223.137.182.112 台湾), 08/28/2024 13:44:13
1F：→ musicbox810 : A'後的第45等号(1-a(k+1))*sum(a(i))是不是应该是08/29 01:50
2F：→ musicbox810 : +a(k+1)*sum(a(i))?08/29 01:50
已改，感谢指正
※ 编辑: mantour (223.137.182.112 台湾), 08/29/2024 12:35:42