作者Honor1984 (奈何上天造化弄人？)
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标题Re: [线代] 类似劳仑兹变换的证明
时间Tue Aug 27 04:49:48 2024
※ 引述《mantour (朱子)》之铭言：
: 已知 A 是一个 2x2 实矩阵，且 det(A) = 1。
: 对於任意实数 x 和 y，有以下变换关系：
: [x'] = A [x]
: [y'] [y]
: 并且满足：
: x^2 - y^2 = 0 <=> x'^2 - y'^2 = 0
: 我想证明：
: 1. 对於任意实数 x 和 y， x'^2 - y'^2 = x^2 - y^2。
: 2. 矩阵 A 的形式为：
: A = ± 1/√(1-v^2) * [1 v]
: [v 1]
: 其中 -1 < v < 1。
: 请教除了设
: A = [a b]
: [c d]
: 下去硬爆之外有没有什麽好方法
设A的row vector分别为u、w，
M = [1 0]
[0 -1]
设f(x, A) = x^T A^T M A x = |x * u|^2 - |x * w|^2
如x满足x^T M x = 0 <=> x^2 - y^2 = 0
则u, w必须是相对y = x或y = -x互为镜射才能使f(x) = 0
若f(x, A) = 0，u, w必须挑选相对y = x或y = -x互为镜射才能使x^T M x = 0
=> A为对称矩阵或者各列可任意再乘以-1(此种状况就非对称矩阵)
若设定det(A) = 1
设x为任意实数向量 = k(w + u)/|w + u| + r(w - u)/|w - u|
f(x, A) = |x * u|^2 - |x * w|^2 = -2krdet(A) = -2kr
= x^2 - y^2
=> x'^2 - y'^2 = x^2 - y^2
显然I是满足上述A的其中一个转换
因为要求det(A) = 1
=> A = (+-1/√[a^2 - b^2])[a b]
[b a]
但是I是A的其中之一，取+
=> A = (+1/√[1 - v^2])[1 v]
[v 1]
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1F：→ mantour : 谢谢，可以说明最後一步的意思吗（I是A之一的部分 08/27 12:55
2F：→ mantour : ） 08/27 12:55
数学上允许-解，甚至非对称矩阵
但是劳伦兹变换因为物理假设所做的选择，最後取+
因为当v = 0时A = I
这就是我的意思
※ 编辑: Honor1984 (117.56.175.175 台湾), 08/27/2024 19:55:35
3F：→ mantour : 感谢 08/27 22:49