作者saltlake (SaltLake)
看板Math
标题Re: [中学] 二项展开式和线性近似之关系
时间Wed Aug 21 22:55:24 2024
※ 引述《Honor1984 (奈何上天造化弄人？)》之铭言：
: ※ 引述《saltlake (SaltLake)》之铭言：
: : 请问下列二者之间的大小关系怎样确定?
: : A = 1 - (1 - a)^n
: : B = n*a
: : n 是自然数而 a 乃实数
: : A < B? 还是 A > B?
: : 倘若 (1) 0 <= a <= 1; (2) 1 <= a
: 当0 <= a <= 1：
: A = a[1 + (1 - a) + (1 - a)^2 + ... + (1 - a)^(n-1)]
: <= na = B
上面这式子怎麽来的?
根据二项展开式:
(1 - a)^n = 1 + sum( C(n,i)*(-a)^i, i = 1 to n)
A = 1 - (1 - a)^n = -sum( C(n,i)*(-a)^i, i = 1 to n)
看不出怎麽得到上面那个式子。
: 当 1 < a 且 n为偶数：
: A = 1 - a^n (1/a - 1)^n <= 1 - (1 - 1/a)^n < n/a < na = B
: 当 1 < a 且 n为奇数：
: A = 1 + |a - 1|^n 没有必然一定A > B或A < B
: 随便举几个区间
: 当a >> 2，A ~ a^n > na = B
: 当a < 2很小，A <= 1 + (a - 1) = a <= na = B
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 220.136.207.41 (台湾)
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1F：→ freePrester : 等比级数推导的 08/21 23:06
等比级数是常系数
※ 编辑: saltlake (220.136.207.41 台湾), 08/22/2024 12:34:41
2F：→ Ricestone : 这也是常系数啊 你误会等比级数的部份吧 08/22 12:42
3F：→ Ricestone : 1+(1-a)+...+(1-a)^(n-1)=(1-(1-a)^n)/(1-(1-a)) 08/22 12:46