作者Honor1984 (奈何上天造化弄人？)
看板Math
标题Re: [微积] 二项展开式和线性近似之关系
时间Wed Aug 21 03:14:41 2024
※ 引述《saltlake (SaltLake)》之铭言：
: 请问下列二者之间的大小关系怎样确定?
: A = 1 - (1 - a)^n
: B = n*a
: n 是自然数而 a 乃实数
: A < B? 还是 A > B?
: 倘若 (1) 0 <= a <= 1; (2) 1 <= a
f(a) = 1 - (1 - a)^n - na
f(0) = 0
f'(a) = -n[1 - (1 - a)^(n-1)]
当0 <= a <= 1：
f'(a) <= 0 => f(a) <= 0 => A <= B
当a > 1：
f'(a) = -n[1 + (-1)^n |a - 1|^(n-1)]
若n为偶数
则f'(a) = -n[1 + |a - 1|^(n-1)] < 0 => f(0) <= 0 => A <= B
若n为奇数
则f'(a) = -n[1 - |a - 1|^(n-1)]
当0 <= a <= 2：f'(a) <= 0
当a > 2：f'(a) > 0，存在一点a'使得f(a') = 0
所以
当0 <= a <= a'，A < B
当a > a'，A > B
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