※ 引述《suspect1 (阿肥)》之铭言： : 很难勿入，连很多补习班老师都解不出来 : ( 1+3x)(1+ 3x^3)(1 + 3x^9)(1 + 3x^27)(1 + 3x^81)(1+ 3x^243) = : 1 + b1x^a1 + b2 x^a2 + b3 x^a3 + ...........b63 x^a63 : 其中ai,bi(i=1,2.....63)都是N : 且 a1 < a2 < ........<a63 : 则何者正确 : 1. a20 = 90 : 2. a32 = 243 : 3. b32 = 3 : 4. b1+b2+.......b63 = 4^6 -1 : 5.a1+a2+......a63 = 11648 : 答：全 这题真正需要的大前提是：分配律的乘法原理 连这个都不会，这题完全解不下去 相对来说，3进位不是必须的 然而这题毕竟有3进位比较方便，稍晚我还是会用到3进位记号 可以故意不提及3进位这个词，但整题的解法不太会变 (x1+y1)(x2+y2)(x3+y3) 爆开之後每一项都是 在第一个括号中2选1 在第二个括号中2选1 在第三个括号中2选1 因此总共会有 2x2x2 = 8 项，刚好每种可能各跑过一次 其它以此类推，例如 (a+b)(c+d+e)(p+q+r+s) 乘开会有 24 项 又例如 (x+y)(x+y) = xx + yx + xy + yy 也是 4 项 若xy可交换，中间是同类项，可以合并成 xx + 2xy + yy，但至少系数和还是 4 本题由上述原理，可知应该会有 2x2x2x2x2x2 = 64 项 按照次方大小 0 = a0 < a1 < a2 < ... < a63 可得各自系数 1 = b0, b1, b2, ..., b63 (1) 首先方便起见，我们需要为每一项给予一个 6 位数编号 对於 (1+3x^243) 的选择，选到 x^243 时第 1 位数是 1, 否则是 0 对於 (1+3x^81) 的选择，选到 x^81 时第 2 位数是 1, 否则是 0 对於 (1+3x^27) 的选择，选到 x^27 时第 3 位数是 1, 否则是 0 对於 (1+3x^9) 的选择，选到 x^9 时第 4 位数是 1, 否则是 0 对於 (1+3x^3) 的选择，选到 x^3 时第 5 位数是 1, 否则是 0 对於 (1+3x^1) 的选择，选到 x^1 时第 6 位数是 1, 否则是 0 ex: 如果分别选到 1, 1, 3x^9, 1, 3x^81, 1，会用 010100 代表这个选择 选到 3x, 3x^3, 3x^9, 3x^27, 1, 1，则用 001111 代表这个选择 因此 64 个选择刚好会是 000000 ~ 111111 共 64 个编号 (2) 编号本身有个明确的比大小方式 例如 010100 > 001111，因为第 2 位数左 1 右 0，当然是左边大 这 64 个编号，对到的次方 a0 ~ a63 比大小的顺序，刚好和编号自己的比大小顺序一致 ex: 010100 代表 x^( 0+81+ 0+ 9+ 0 +0) 次方 001100 代表 x^( 0+ 0+27+ 9+ 3 +1) 次方 显然 81 的右边，就算全取 27+9+3+1 也不会大於 81 因此有 81 会直接决定该次方比较大 上述也同时证明不会有两项有一样的次方，因次不会有同类项合并的问题 (3) 因此现在可以用高中的方式数出 a20 和 a32 a0 = 000000 a1 = 000001 a2 = 000010 a3 = 000011 ... an = 有 n 个编号比 an 还要小 比 100000 还小的编号是 0XXXXX，显然有 2x2x2x2x2 = 32 个 因此 100000 就对应 a32 这项的次方是 a32 = (243+0+0+0+0+0) = 243 次 比 010000 还小的编号是 00XXXX，有 16 个 比 000100 还小的编号是 0000XX，有 4 个 比 010100 还小的有 00XXXX 和 0100XX 两种，共 16+4 = 20 个 因此 010100 会对应 a20 这项的次方是 a20 = (0+81+0+9+0+0) = 90 次 (4) 每个编号的系数很明确，编号中有几个 1 代表选到几次系数 3 例如 100000 的系数是 b32，选到 1 次 3，那 b32 = 3 如果是 010100 那就选到 2 次 3，可知 b20 = 9 系数总和可以透过代入 x = 1 得到 於是 b0 + b1 + ... + b63 = (1+3)(1+3)...(1+3) = 4^6 (5) 由於编号位数各自对应次方，因此次方总和也不难算 1XXXXX 有 32 个，因此会有 243 * 32 次 X1XXXX 有 32 个，因此会有 81 * 32 次 以此类推可得 a0 + a1 + ... + a63 = 32 * (243+81+27+9+3+1) = 11648 这样这题就做完了 对於知道3进位的人来说，应该会知道该编号就是 an 的 3 进位记法 由於所有系数都是 0 和 1，因此在速解时 2 进位也会参与 毕竟 000000 ~ 111111 作为 2 进位记法直接对应 0 ~ 63 实际上就算不知道3进位，比较有能力的学生花时间研究，还是能搞出答案 顶多不晓得自己在做3进位，拿不出3进位的记号，导致算式很乱而已 --

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