作者wallowes (Qoo)
看板Math
标题Re: [微积] 积分 sin x / x
时间Fri Aug 2 05:52:34 2024
※ 引述《suspect1 (阿肥)》之铭言：
: ∞ sin x ∞ ∞
: 求 ∫------------- dx = ∫ [ { ∫exp(-xt) dt} ] sin x dx
: 0 x 0 0
: ∞ 1
: = ∫ ---------- dt
: 0 1+t^2
: | ∞
: = arc tan(t) |
: | 0
: = pi/2
: 绿色部份看不懂，求大大帮忙
绿色部分，
令tan u = t/1，
画出三角形 邻边=1、对边=t、斜边=√(1^2+t^2)，
d tanu/dt = d tanu/du * du/dt = sec^2 u * du/dt = 1，
可以得到dt = sec^2 u * du，-(1)
然後看三角形图形，
cos u = 1/√(1^2+t^2)，
cos^2 u = 1/(1^2+t^2)，-(2)
将(1)、(2)代回原式:
可得∫[0,∞] cos^2 u * sec^2 u du = ∫[0,∞] du，
积分结果就是u，u = tan^-1 t，然後t代入上下界[∞,0]，
[π/2-0] = π/2。
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