https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/ Erica Klarreich https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/ 经过30年的努力，数学家们已经证明了名为「朗兰兹纲领」的深刻数学愿景的主要部分。 一组由九位数学家组成的团队已经证明了几何朗兰兹猜想，这是现代数学中最广泛的范式 之一的重要组成部分。 这一证明标志着三十年努力的高潮，未参与证明的马克斯普朗克数学研究所的着名数学家 彼得·舒尔兹说道：「看到它被解决真是太好了。」 朗兰兹计划由罗伯特·朗兰兹在1960年代提出，是傅里叶分析的一个广泛推广，这是一个 将复杂波形以平滑振荡的正弦波表示的远大框架。朗兰兹计划在数论、几何学和称为函数 域的三个独立数学领域中占有重要地位。这三个领域通过一个类似於数学界的罗塞塔石碑 的比喻网络相连。 现在，一组新的论文解决了罗塞塔石碑中几何部分的朗兰兹猜想。德克萨斯大学奥斯汀分 校的大卫·本-兹维说：「在其他任何领域中，从未有过如此全面和强大的结果被证明。 」 「这是美丽的数学，是这类数学中的最佳作品，」几何朗兰兹计划的主要创始人之一亚历 山大·贝林森说道。 该证明包含超过800页的内容，分布在五篇论文中。这些论文由丹尼斯·盖茨格里（舒尔 兹在马克斯普朗克研究所的同事）和耶鲁大学的山姆·拉斯金领导的团队撰写。 盖茨格里过去30年来一直致力於证明几何朗兰兹猜想。几十年来，他和他的合作者们已经 发展出大量的工作，新的证明正是建立在这些工作的基础上。格勒诺布尔阿尔卑斯大学的 文森特·拉福格将这些进展比作「上升的海洋」，这与20世纪着名数学家亚历山大·格罗 滕迪克的精神一致，他谈到通过在问题周围创造逐渐上升的思想海洋来解决难题。 数学家们需要一些时间来消化这项新工作，但许多人对核心思想的正确性充满信心。「这 个理论内部有很多一致性，所以很难相信会有错误，」拉福格说道。 在证明的前几年，研究团队创建了不止一条而是多条通往问题核心的路径，本-兹维说。 「他们所发展的理解是如此丰富和广泛，他们从各个方向包围了问题，」他说。「这个问 题没有逃脱的机会。」 一个大统一理论 1967年，时任普林斯顿大学30岁教授的罗伯特·朗兰兹，在给安德烈·韦伊（一位罗塞塔 石碑的创始人）的一封手写的17页信中，阐述了他的愿景。朗兰兹写道，在罗塞塔石碑的 数论和函数域部分，可能创建一个具有惊人范围和力量的傅里叶分析推广。 在经典的傅里叶分析中，一种称为傅里叶变换的程序在思考波形图（例如声波图）的两种 不同方式之间建立了对应关系。在这种对应关系的一边是波形本身。（我们称之为波形侧 。）这包括简单的正弦波（在声学中是纯音）和由正弦波组成的更复杂的波形。在对应关 系的另一边是正弦波的频谱，也就是它们的频率。（数学家称之为频谱侧。） 傅里叶变换在这两边之间来回转换。在一个方向上，它允许你将波形分解成一系列频率； 在另一个方向上，它允许你从其组成的频率重构波形。跨越这种分界线的能力对广泛的应 用至关重要——没有它，我们就不会有现代电信、信号处理、磁共振成像以及许多现代生 活中的其他基本技术。 朗兰兹提出，在罗塞塔石碑的数论和函数域部分，也发生了类似的情况，但波形和频率更 为复杂。 在这些部分中的每一个部分中，波形侧由一组类似於重复波的特殊函数组成。其中最纯粹 的称为特徵函数（来自德语「特徵」），它们扮演正弦波的角色。每个特徵函数都有一个 特徵频率。然而，正弦波的频率是一个单一的数字，而特徵函数的频率则是一个无限数列 。 还有一个频谱侧。这由数论中的一组对象组成，朗兰兹认为这些对象标示了特徵函数的频 谱。朗兰兹提出，一种类似於傅里叶变换的程序将波形侧和频谱侧连接起来。「这是一种 奇妙的事情，」本-兹维说道。「这不是我们事先有任何理由期望的东西。」 这些波形及其频率标签来自数学中广泛不同的领域，因此它们之间的对应关系——当能够 被证明时——通常会带来丰厚的回报。例如，1990年代对一小部分函数的数论朗兰兹对应 的证明，使得安德鲁·怀尔斯和理查德·泰勒能够证明费马大定理，这是一个三个世纪以 来数学中最着名的未解之谜。 朗兰兹的计划被加利福尼亚大学伯克利分校的爱德华·弗伦克尔称为「数学的大统一理论 」。然而，当数学家们努力证明朗兰兹愿景的越来越大的部分时，他们意识到这个愿景是 不完整的。它似乎无法讲述罗塞塔石碑第三列——几何部分——中的波形及其频率标签的 故事。 一粒沙 从朗兰兹工作的一开始，数学家们就对几何朗兰兹对应的频谱侧应该是什麽样子有了一些 想法。韦伊的罗塞塔石碑的第三列涉及紧致黎曼曲面，即球面、甜甜圈以及多孔甜甜圈。 给定的黎曼曲面有一个相应的对象，称为其基本群，它跟踪了环绕曲面的不同环路。数学 家们怀疑几何朗兰兹对应的频谱侧应该由基本群的某些提炼形式组成，这些形式被称为其 「表示」。 如果朗兰兹对应要在罗塞塔石碑的几何部分中实现，那麽黎曼曲面基本群的每个表示应该 是一个频率标签——但是标签的是什麽呢？ 数学家们找不到任何特徵函数集合，其频率似乎由基本群的表示来标记。然後在1980年代 ，现任芝加哥大学的弗拉基米尔·德林费尔德意识到，可能通过用更复杂的对象——称为 特徵层——取代特徵函数来创建几何朗兰兹对应，尽管当时他只知道如何构建其中的少数 几个。 层比函数更加深奥，数论学家们不知如何看待这个提议的几何朗兰兹对应的「表亲」。但 尽管其波形侧非常深奥，几何朗兰兹计划相比数论版本的朗兰兹计划有一个很大的优势。 在几何朗兰兹中，特徵层的频率由黎曼曲面上的点决定，并且在近距离观察时，球面或甜 甜圈上的每个点看起来都很相似。但是在数论朗兰兹中，频率由质数决定，而每个质数都 有独特的性质。伦敦帝国理工学院的数论学家安娜·卡拉尼说，数学家们不知道「如何以 一种好的方式从一个质数过渡到另一个质数」。 黎曼曲面在物理学中扮演着重要角色，特别是在共形场论中，这理论支配了亚原子粒子在 某些力场中的行为。1990年代早期，贝林森和德林费尔德展示了如何使用共形场论来构建 某些特别好的特徵层。 与共形场论的联系为贝林森和德林费尔德提供了一个开始思考如何为层构建傅里叶分析版 本的起点。「这就是这一切结晶的小沙粒，」本-兹维说。 贝林森和德林费尔德提出了几何朗兰兹对应应该如何运作的丰富愿景。他们认为，不仅基 本群的每个表示应标记一个特徵层的频率，这种对应还应该尊重双方的重要关系，这一前 景被贝林森和德林费尔德称为「最佳希望」。 在1990年代中期，贝林森在特拉维夫大学做了一系列关於这一发展中的图景的讲座。当时 还是研究生的盖茨格里全神贯注地听着每一个字。「我就像一只刚孵出的鸭子一样受到印 象，」盖茨格里回忆道。 在随後的30年里，几何朗兰兹猜想成为盖茨格里数学事业的主要驱动力。「这些年来，我 不停地工作，越来越接近，开发了各种工具，」他说。 上升的海洋 贝林森和德林费尔德只是粗略地陈述了他们的猜想，结果证明他们对「最佳希望」中的关 系的看法有些过於简单。2012年，盖茨格里和威斯康辛大学麦迪逊分校的迪马·阿林金找 出了如何将「最佳希望」转化为一个精确猜想的方法。次年，盖茨格里写了一个几何朗兰 兹猜想证明的纲要。这个纲要依赖於许多中间命题，其中很多尚未被证明。盖茨格里和他 的合作者们开始着手证明这些命题。 在接下来的几年里，盖茨格里和多伦多大学的尼克·罗森布莱姆写了两本关於层的书，总 共近1000页。这套两卷本中只提到了几何朗兰兹计划一次。「但它的目的是打下基础，这 些基础我们最终非常密集地使用了，」盖茨格里说。 当2020年新冠疫情爆发时，盖茨格里突然发现他的日程表空了。「我花了三个月躺在床上 思考，」他说。这种思考最终导致了一篇由六位作者撰写的论文，该论文主要涉及朗兰兹 计划的函数域部分，但包含了後来成为几何朗兰兹猜想证明的关键组成部分的种子：理解 每个特徵层如何对我们可以认为的「白噪声」做出贡献的方法。 在经典的信号处理中，声波是由正弦波组成的，其频率对应於声音中包含的音高。仅仅知 道声音包含哪些音高是不够的——你还必须知道每个音高的响度。这些信息使你能够将声 音写成正弦波的组合：只需从幅度为1的正弦波开始，然後在将这些正弦波相加之前，将 每个正弦波乘以适当的响度因子。所有不同幅度为1的正弦波之和就是我们通常称为的白 噪声。 在几何朗兰兹计划的世界中，特徵层应该扮演正弦波的角色。盖茨格里和他的合作者们确 定了一种称为庞加莱层的东西，似乎在充当白噪声的角色。但是研究人员不知道每个特徵 层是否甚至在庞加莱层中有表示，更不用说它们是否都具有相同的幅度了。 2022年春天，拉斯金和他的研究生乔阿基姆·费尔格曼展示了如何使用六位作者论文中的 想法来证明每个特徵层确实对庞加莱层有贡献。「在山姆和乔阿基姆的论文之後，我确信 我们会在短期内完成，」盖茨格里谈到证明几何朗兰兹猜想时说。 研究人员需要证明所有特徵层对庞加莱层做出相等的贡献，并且基本群的表示标记了这些 特徵层的频率。他们意识到最棘手的部分是处理基本群的不可约表示。 解决这些不可约表示的方法是在拉斯金个人生活混乱的时刻出现的。在他和费尔格曼将论 文上传网络後几周，拉斯金不得不将怀孕的妻子紧急送往医院，然後回家带儿子去上幼稚 园的第一天。他的妻子在医院待到六周後他们的第二个孩子出生，在这段时间里，拉斯金 的生活围绕着让儿子的生活正常化，并在家、儿子的学校和医院之间无尽地奔波。「我的 整个生活就是车子和照顾人，」他说。 他在开车时经常给盖茨格里打电话讨论数学。在那些周结束时，拉斯金意识到他可以将不 可约表示的问题简化为证明三个都在可达范围内的事实。「对我来说，那是一段奇妙的时 期，」他说。他的个人生活「充满了对未来的焦虑和恐惧。对我来说，数学总是这种非常 紮实和冥想的事情，可以让我摆脱那种焦虑。」 到2023年初，盖茨格里和拉斯金，联同阿林金、罗森布莱姆、费尔格曼及其他四位研究人 员，已经完成了贝林森和德林费尔德的「最佳希望」的完整证明，该证明经盖茨格里和阿 林金修改。（其他研究人员是伦敦大学学院的达里奥·贝拉尔多、北京清华大学的林辰、 芝加哥大学的贾斯汀·坎贝尔和凯文·林。）这个团队花了一年时间写出证明，并在二月 份上传到网上。这些论文遵循了盖茨格里在2013年制定的大纲的某些方面，但同时简化了 他的方法并在许多方面超越了它。「非常聪明的人为这一成就贡献了许多新想法，」拉福 格说。 「他们不仅仅是去证明了它，」本-兹维说。「他们还在这周围发展了整个世界。」 远方的海岸 对盖茨格里来说，他数十年梦想的实现远非故事的终结。数学家们还面临一系列新的挑战 ——更深入地探索与量子物理的联系，将结果扩展到带有穿孔的黎曼曲面，并弄清楚对罗 塞塔石碑其他部分的影响。「这感觉（至少对我而言）更像是一块大石头的一部分被凿下 来了，但我们还远未到达核心，」盖茨格里在一封电子邮件中写道。 现在，在其他两个部分工作的研究人员急於转化他们能够的成果。「一个主要部分的解决 应该会对朗兰兹对应的整体产生重大影响，」本-兹维说。 并不是所有的成果都可以转移——例如，在数论和函数域设置中，没有共形场论的对应概 念，这使得研究人员能够在几何设置中构建特殊的特徵层。伯克利的冯东尼警告说，证明 的大部分内容需要进行严格调整，才能在其他两个部分中起作用。他说，仍有待观察「我 们是否能将这些思想运用到不同的背景中，而这些背景并不是为这些思想设计的。」 但许多研究人员乐观地认为，这些不断涌现的思想最终会到达这些其他领域。「它将渗透 所有学科之间的障碍，」本-兹维说。 在过去的十年里，研究人员开始发现几何部分与其他两部分之间的意外联系。「如果[几 何朗兰兹猜想]在10年前被证明，那麽结果会非常不同，」冯说。「人们不会意识到它可 能在[几何朗兰兹]社区之外产生影响。」 盖茨格里、拉斯金和他们的合作者已经在将几何朗兰兹证明转化为函数域部分方面取得了 进展。（盖茨格里和拉斯金在後者的长途驾驶中所做的一些发现「还未来临，」拉斯金暗 示道。）如果成功，这种转化将证明一个比数学家之前所知或甚至猜测的更精确的函数域 朗兰兹版本。 大多数从几何部分到数论部分的转化都经过函数域。然而，在2021年，巴黎朱西数学研究 所的劳伦特·法尔格斯和舒尔兹设计了一个被舒尔兹称为「虫洞」的东西，将几何部分的 思想直接带到数论朗兰兹计划的一部分。 「我肯定是现在尝试翻译所有这些几何朗兰兹内容的人之一，」舒尔兹说。随着这些大量 涌现的思想已经溢出成数千页的文本，这并非易事。「我目前落後了几篇论文，」舒尔兹 说，「正在尝试阅读他们在2010年左右的工作。」 现在几何朗兰兹的研究人员终於将他们冗长的证明写在纸上，卡拉尼希望他们将有更多的 时间与数论领域的研究人员交流。「这些人对事物有非常不同的思考方式，如果他们能够 放慢脚步，相互交流并了解对方的观点，总是有好处的，」她说。她预测，只是时间问题 ，新的工作的思想将渗透到数论中。 正如本-兹维所说，「这些结果是如此强大，一旦你开始，很难停下来。」 --

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