当500年历史的数学问题，与钟摆、晨光中的咖啡与核反应器相遇 https://www.linkresearcher.com/information/b671f02a-7010-4a71-bda8-3c96faf674c8 环球科学 撰文| 莎拉哈特（Sarah Hart） 翻译| 张岱铭 审校| 不周 着名艺术家保罗·克利（Paul Klee）曾形容绘画的过程是「 牵着一条线散步 」——但 为什麽止步於此呢？ 五个世纪以来，数学家一直在思考这样一个问题：当你牵着圆或其 他曲线去散步时，会发生什麽事？ 且听我将这个迷人的故事细细道来… 摆线 深深吸引了伽利略，其神秘之处在於， 关於这条曲线最基本的一些问题似乎都是无 法解答的 ——它的长度是多少？ 包含的面积有多大？ 直线和拱形曲线之间的面积是多 少？ 伽利略甚至在金属板上制作了一条摆线，并试图透过称重来估算面积，但他始终无 法在数学上解决这个问题。 几年之内，似乎整个欧洲的数学家都沉迷於摆线问题。 皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）、勒内·笛卡尔（René Descartes）、马兰·梅森（Marin Mersenne）、艾萨 克·牛顿（Isaac Newton）和戈特弗里德·威廉·莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz）都研究过它。 它甚至让布莱兹·帕斯卡（Blaise Pascal）重新回到了数学领 域，在此之前，他曾发誓放弃数学，转而专注於神学。 有一天晚上，帕斯卡牙痛得厉害，为了转移注意力，他决定思考摆线的问题。 结果这个 办法真的奏效了——他的牙痛奇蹟般地消失了，帕斯卡自然认为这是因为上帝赞成他研究 数学。 从此，他再也没有放弃数学。 在巴黎罗浮宫的帕斯卡雕像上，你甚至可以看到他 手持摆线图的形象。 事实上，这条曲线变得如此着名，以至於它出现在几部经典文学作 品——《格列佛游记》、《项狄传》和《白鲸》中都有提及。 摆线的面积问题 最早是在17世纪中期由吉尔·德·罗贝瓦尔（Gilles de Roberval）首 先解决，其答案非常简洁美妙—— 摆线面积正好是滚动圆面积的三倍 。 第一个计算出 摆线长度 的人是克里斯多福·雷恩（Christopher Wren），他是一位极为出色的数学家 ，传闻中也涉猎建筑领域。 他得到的也是一个优雅简洁的公式： 摆线长度刚好是产生圆 直径的四倍 。 迷人的摆线对数学家有着如此大的吸引力，以至於它被称为“几何学的海 伦”（ “海伦”指的是古希腊神话中着名的美女海伦，她因美貌而引发特洛伊战争） 。 但这并不是它被这麽称呼的唯一原因。 数学界 许多激烈的争吵都归咎於它 。 当数学家 埃万杰利斯塔·托里切利（Evangelista Torricelli）独立地找到摆线与直线之间的面积 时，罗贝瓦尔指责他剽窃自己的研究成果。 罗贝瓦尔的支持者甚至声称，托里切利是因 被揭露为剽窃者而羞愧至死（虽然更有可能的死因是他当时患有的伤寒）。 笛卡儿则轻 蔑地称费马关於摆线的研究为「荒谬的胡言乱语」。 而在回应约翰·伯努利（Johann Bernoulli）的质疑时，艾萨克·牛顿愤愤不平地抱怨自己「在数学上被外国人戏弄」。 克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）是世界上第一个摆钟的设计者，他发现了 摆线的一个奇特性质 。 钟摆之所以适合计时，是因为无论释放时的角度如何，它的运动 周期——也就是钟摆完成一次完整摆动的时间——都是不变的。 实际上这只在近似条件 下成立，周期其实会有轻微的变化。 惠更斯想知道， 是否可以做出更精准的钟 。 普通钟摆的末端沿着圆弧运动，但是否有 一条曲线可以让钟摆无论从哪个位置释放，都能在相同的时间内到达曲线的最低点？ 这 就是所谓的「等时问题」。 你猜满足这个条件的曲线是什麽？ 意外的收获是，它也与「 最速降线问题」有关，即寻找一条曲线，使得一个粒子在重力作用下沿着该曲线从一点滑 到另一点所花的时间最短。 看起来完全没有理由认为这两个问题可以被同一条曲线解决 ， 但事实就是如此，而这条曲线正是摆线。 这些问题的背景看起来与摆线诞生时的研究 背景迥然不同，却仍有它的一席之地，这着实是一个令人惊讶的发现。 当线沿着圆滚动 当你把一个圆沿着一条直线滚动时，你会得到一个摆线。 但 如果你把一条线沿着一个圆 滚动 ，你会得到什麽呢？ 这是一种称为 渐开线 的曲线。 要画出一条曲线的渐开线， 你需要取一个线段的端点，并沿着这条曲线滚动这条线，使其始终与曲线保持只在一个点 上接触（也就是相切）。 渐开线就是这个端点所描绘的曲线。 对於圆的渐开线，想像从 一个线轴上放开一条线，并追踪线端的移动轨迹。 你会得到一条从圆周发散开去的螺旋 曲线。 惠更斯是第一个研究渐开线的人，这源自於他为了设计更精确的钟而做的尝试。 虽然我 们知道摆线是完美的等时曲线，但如何让你的线绳遵循摆线的路径呢？ 你需要找到一条 其 渐开线是摆线的曲线 。 摆线本身就奇蹟般地具有这个美妙的性质： 它的渐开线就是 它自己 ！ 而圆那些美丽的螺旋渐开线也同样非常有用。 我最喜欢的渐开线应用，是惠更斯绝对无法预测的： 圆渐开线可以用来设计一种核反应 堆 ，以产生大质量的元素进行科学研究。 这种反应器透过发射高速中子撞击较轻的元素 ，从而产生较重的元素。 在圆柱形的反应器核心里，氧化铀燃料被夹在薄薄的铝条之间 ，这些铝条会依照特定的曲线塑形以适应圆柱的形状。 每平方公分上有上千亿个中子飞 速运动，产生的热量非常大，因此需要在这些铝条之间添加流动的冷却剂。 为了防止出 现过热点，必须确保这些铝条在整个弯曲表面上保持恒定的距离。 圆渐开线一个有用的性质在核反应炉里找到了用武之地。 如果你从圆周上等距的点开始 绘制一组圆渐开线，那麽这些曲线之间的距离会在整个曲线上保持恒定。 因此，它们是 反应器核心中燃料条形状的最佳选择。 更妙的是， 圆渐开线是唯一具有这种特性的曲 线 ！ 最初在摆钟背景下研究的曲线竟然能解决核反应器设计中的关键问题，这实在令我 着迷。 当圆沿着圆滚动 我们已经把圆沿直线滚动，并将直线沿圆滚动。 显然，下一步是让 圆沿着圆滚动 。 会 发生什麽事呢？ 这里我们得分类讨论一下。 滚动的圆有多大？ 我们是沿着静止圆的内 侧还是外侧滚动？ 当一个圆沿着另一个圆的内侧滚动时，形成的曲线叫做 内摆线 ；沿 着外侧滚动则得到 外摆线 。 如果你玩过「画图仪」玩具，那你几乎就已经画出了内摆 线。 准确地说你绘制的应该是所谓的 内旋轮线 ，因为你的笔不完全在滚动圆的边缘。 在外摆线中，最有趣的要数 心形线 ：它是当 滚动圆和固定圆的半径相同滚动圆和固定 圆的半径相同时 形成的心形曲线。 而当 滚动圆的 半径是固定圆 的一半 时，形成的则 是 肾形线 。 心形线出现在许多有趣的地方。 着名的分形图曼德博集合（Mandelbrot set）的中心区域就是一个心形线。 声音工程师所熟知的 心形麦克风 ，就在一个心形线 形状的区域内接收声音。 在某些光照条件下，你可能会在 咖啡杯的光影图案 中看到类 似心形线的曲线。 如果从固定光源发出的光线在一个弯曲的镜面上发生反射，能看见一 条这些反射光线均相切的曲线，这个光线集聚的区域被称为焦散。 如果光源位於一个完 美圆形镜子的圆周上，其焦散恰好会形成一个心形线！ 当然，在咖啡杯的例子中，光源通常不会刚好在杯子的边缘，而是离杯子有一定距离。 如果光源非常远，我们可以假设照射到杯子边缘的光线是平行的。 在这种情况下，焦散 实际上不是心形线，而是另一种外摆线：肾形线。 但由於强烈的顶灯光源介於这两种极 端之间，我们通常得到的曲线会介於心形线和肾形线之间。 数学家阿尔弗雷德·雷尼（ Alfréd Rényi）曾将数学家定义为「 将咖啡转化为定理的机器 」。 这句话在奇妙的 外摆线中表现得淋漓尽致。 如果你刚好正在享用你的晨间咖啡，不妨也来找找这些曲线 的踪迹吧！ 原文连结： https://www.newscientist.com/article/2430522-500-year-old-maths-problem-turns-out-to-apply-to-coffee-and-clocks/ --

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