黎曼猜想突破作者首次公开解说，陶哲轩送上总结 https://mp.weixin.qq.com/s/OK_FQUsIbfJw315zgMxMUA 机器之心报道 满满一黑板的「天书」，会是「猜想界皇冠」破解的开始吗？ 昨天， 有关试证黎曼猜想的新研究 又一次引爆了数学圈。 MIT 数学教授Larry Guth 和牛津大学数学研究所教授、2022 菲尔兹奖得主James Maynard 撰写论文《New large value estimates for Dirichlet polynomials》，首次 对数学家Albert Ingham 在1940 年左右关於黎曼ζ 函数零点（以及更广泛地控制各种 Dirichlet 级数的大值）的经典界限做出了实质改进。 论文网址：https://arxiv.org/pdf/2405.20552 对於Guth 和Maynard 的新突破，知名华裔数学家陶哲轩评论道：「他们在研究黎曼猜想 方面取得了重要进展，尽管离解决这一历史悠久的数学问题还有很长的路要走。」 今天，两位论文作者Larry Guth 和James Maynard 分别做了主题为《狄利克雷多项式大 值的新界限，第一部分》以及《狄利克雷多项式大值的新界限，第二部分》的讲座。 狄利克雷多项式界限在与素数分布相关的几个问题中发挥重要作用，它们可以用来限制黎 曼zeta 函数在垂直条带中的零点数量，这与短间隔内的素数分布有关。 狄利克雷多项式 可以表示为： https://tinyurl.com/mefru32z 主要问题在於D (t) 超水平集的大小。 作者进行归一化，使得系数范数最多为1，然後研 究超水平集| D (t)| > N^\sigma，其中sigma 指数介於1/2 和1 之间。 其中对於较大的sigma 值，数学家Montgomery 证明了该超水平集具有非常强的界限。 但 对於sigma \le 3/4，最知名的界限来自非常简单的正交性论证（而且这些界限似乎并不 尖锐）。 作者将已知的sigma 界限改进到接近3/4，相关工作正在进行中。 James Maynard 讲座介绍 讲座一开始，James Maynard 引用了Freeman Dyson 的着名比喻，将数学家分为鸟和青蛙 。 鸟喜欢从高处俯瞰全局，思考宏观的数学结构；青蛙喜欢深入具体的细节，解决具体 的问题。 Maynard 自认是一只青蛙，更注重细节问题的解决。 在演讲中，Maynard 主要介绍了他和Larry 共同研究成果，特别是关於Dirichlet 多项式 的大值问题。 这些研究在解析数论上具有重要意义。 Maynard 希望透过这次演讲，更好的展示他们的研究结果、这些结果如何融入解析数论的 整体背景，以及一些关键的证明想法。 为了将晦涩难懂的数学问题解释的更加清楚，Maynard 采用板书的形式进行讲解，并写下 了满屏的推导公式： https://tinyurl.com/yckuerjw 整场演讲长达1 小时12 分，内容输出非常密集。 着名数学家陶哲轩简单明了的概括了这 次研究的新进展， 解释了从黎曼猜想到当前最新进展的逻辑推导链条，展示了每个假设 和估计之间的关系及其在解析数论中的重要性。 https://tinyurl.com/3j3t6zy7 James Maynard 完整影片请见如下： Larry Guth 讲座介绍 Larry Guth 表示， James Maynard 的第一部分讲座介绍了狄利克雷多项式的问题、工作 以及关键思想。 他此次讲座将进一步剖析证明过程，包括解释问题的背景、证明的细节 。 他首先描述了问题的设置，即分析狄利克雷多项式大值的新界限，狄利克雷多项式范数在 特定集合上的大小，并讨论了已有的简单估计方法（如均值定理）及它们的局限性。 然後他介绍了自己工作提出的新定理，提出在某些参数范围内对原有估计进行了改进。 此外他也展示了近似反例的存在，证明了简单估计方法的局限性，并讨论了特定情况下可 能存在的精确转变点。 接下来，他讨论了在处理狄利克雷多项式问题时所使用的工具，并指出这些工具无法区分 近似反例和原始问题的设定。 他比较了两种不同的频率设置，探讨了每个设置的特点。 透过分析低能量和高能量两种情况，他展示了如何使用矩阵的奇异值和牛津大学着名数学 家Heath-Brown 的工作来获得更好的估计结果。 其中在低能量情况下，他强调了傅立叶变换的使用和能量的定义；在高能量情况下，他则 利用加法结构来改进估计。 最後，他总结了这些方法的有效性。 Larry Guth 完整影片请见如下： 辅助工具：ChatGPT 参考连结： https://www.ias.edu/video/new-bounds-large-values-dirichlet-polynomials-part-1 --

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