作者cuteSquirrel (可爱的小松鼠)
看板Math
标题Re: 请问大大一题涂色问题
时间Mon May 20 01:50:05 2024
※ 引述《rfvbgtsport (uygh)》之铭言：
: 5色去涂2*3方格，规定相邻异色，且每色至少用一次，方法数？答案是760
: 请教大大们，多了一个每色至少用一次，要如何算，比较好，谢谢大大们
五种颜色要填充2*3的方格子
颜色当主角的想法:
五色挑一色重复 C(5,1)
假设重复的颜色叫做A颜色
A A B C D E 排列有 6! / 2! 种
非法情况(同色相邻)有 七大类，_ 代表剩下的用尽四色涂法 4!
总共有
A _ _ 或 _ A _ 或 _ _ A 或 A A _ 或 _ A A 或 _ _ _ 或 _ _ _
A _ _ _ A _ _ _ A _ _ _ _ _ _ A A _ _ A A
相邻异色涂法
= 五色用尽的任意涂法 - 相邻有同色的情况
= C(5,1) * { 6! / 2! - 7 * 4!}
= 5 * { 360 - 7 * 24 }
= 5 * { 360 - 168 }
= 5 * 192
= 960 种
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格子当主角的想法
甲 乙 丙
丁 戊 己
六个格子，用五种颜色来涂，相邻必须异色，而且颜色必须用尽。
最多邻居的乙先涂
甲丙戊 同色 禁止，因为这样没办法用尽五色。
甲丙同色 戊异色 => 5 (涂乙) * 4 (涂甲丙) * 3 (涂戊) * 2 (涂丁) * 1 (涂已)
甲戊同色 丙异色 => 5 乙 * 4 甲戊 * 3 丙 * 2 丁 * 1 己
丙戊同色 甲异色 => 5 乙 * 4 丙戊 * 3 甲 * 2 丁 * 1 己
= 5! * 3 = 120 * 3 = 360种
甲丙戊异色 5 * 4 * 3 * 2 * { 丁乙同 1 * 1 + 丁丙同 1 * 1 + 丁用了最後一色 1*3 }
乙 甲 丙 戊 己用最後一色 己用最後一色 己和丙戊异色就好
= 120 * { 1 + 1 + 3 } = 120 * 5
= 600种
所有合法情况加总 = 360种 + 600种 = 960种
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1F：推 rfvbgtsport : 谢谢大大 05/21 01:32
2F：→ cuteSquirrel: : ) 05/23 00:40