作者tatoba (tatoba)
看板Math
标题[分析] 函数表示成级数和
时间Mon Apr 22 16:25:45 2024
请问一下
泰勒展开式一般只在展开点附近有良好近似
为何有些函数在整个实数定义域都能用同一个级数和表达？
例如e^x,sinx,cosx 在x=0的泰勒展开式
其无穷级数和在丨x丨＞＞0也等於其函数值
似乎有Σan’(x-x’)^n=Σan x^n
网路查时 有看到有人宣称是因为收敛半径=∞
但是我认为那个条件只能保证无穷级数和收敛
不能保证在不同x,级数和都收敛到同一个f(x)
然後我看到有人在复变函数的范围讨论
说如果函数f(z) holomorphic就能用同一个级数和[假设命名为F(z)]
表达整个定义域内的f(z)
我另外就想到前面所提的收敛半径∞
如果级数和一定收敛[假设命名为F(z)]
然後和f(z)在某个较小的区间完全相等
是不是从identity theorem就能推出在更大的范围f(z)=F(z)？
外行有很多不懂 请版友不吝指教 谢谢
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※ 编辑: tatoba (61.227.27.155 台湾), 04/22/2024 16:37:49
1F：推 willydp : 你讲的这类函数叫作解析函数 04/22 17:22
3F：→ willydp : 一般来说，光滑函数（处处可无限次可导）的泰勒展开 04/22 17:24
4F：→ willydp : 和函数实际的取值只有近似关系，即使在某个区域相等 04/22 17:24
5F：→ willydp : 离开那个区域之後可以完全不同 04/22 17:24
6F：→ willydp : 看看维基百科页面「等价描述」那一小节 04/22 17:26
7F：→ logstar11 : 凭印象讲 可能有错 04/27 15:27
8F：→ logstar11 : C上的解析函数等价於用同一个级数在C上表示 04/27 15:27
9F：→ logstar11 : 你举的级数例子不只是在实数上处处收敛 更是在C上 04/27 15:27
10F：→ logstar11 : 所以是解析 并且在R上跟那些函数 04/27 15:27
11F：→ logstar11 : 相同 由id thm. 得到那些函数就是那几个级数 04/27 15:27