作者arrenwu (最是清楚哇她咩)
看板Math
标题Re: [中学] 直角三角形重心与内心连线
时间Mon Apr 1 17:54:03 2024
※ 引述《yiting428 ()》之铭言：
: 大家好
: 如图
: https://i.imgur.com/6OINrEw.jpg
: 请问如何可以证明 GI 平行 AC？
: 我卡好久了囧
: 目前已尝试过 Δ=rs=两股相乘/2
: (r=内切圆半径，s=周长/2)
: 也尝试过证明r=BC边/3
: 请大大们赐教了
: 谢谢
:
这问题我感兴趣的是：
给定三角形 ABC， GI 平行 AC 成立的条件是？
用 O 表示原点，a,b,c 分别为 BC, AC, AB 的长度
下面写的 OG, OI 等都是向量:
我们可以用一些已知的几何结果：
OI = a/(a+b+c)*OA + b/(a+b+c)*OB + c/(a+b+c)*OC
OG = OA/3 + OB/3 + OC/3
把上面的式子整理一下，可以得到
AI = b/(a+b+c)*AB + c/(a+b+c)*AC
AG = AB/3 + AC/3
进一步可以得出
GI = [b/(a+b+c)-1/3]*AB + [c/(a+b+c)-1/3]*AC
给定两个夹角为θ的向量 X,Y ，定义二维平面的外积 X x Y 为 |X||Y|sinθ
GI 与 AC 平行 若且惟若 GI x AC = 0
0 = GI x AC = [[b/(a+b+c)-1/3]*AB + [c/(a+b+c)-1/3]*AC] x AC
= [b/(a+b+c)-1/3]*(AB x AC)
因为ABC是三角形，AB跟AC不可能平行→ AB x AC ≠ 0
故我们可以得到，
GI 与 AC 平行 若且惟若 b/(a+b+c) = 1/3
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早川秋看到的未来
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1F：推 swfswf : 更简单的证法，不失一般性，假设A,C在Y轴上，B的座 04/05 16:00
2F：→ swfswf : 标为(t,0)，t>0，则三角形重心的x座标是t/3，面积 04/05 16:01
3F：→ swfswf : S=b*t/2。内心的x座标也就是内切圆的半径，也就是 04/05 16:01
4F：→ swfswf : S*2/(a+b+c)。如果内心重心连线平行y轴， 04/05 16:01
5F：→ swfswf : t/3 =b*t/2*2/(a+b+c)，得到b=(a+b+c)/3 04/05 16:02
6F：推 yiting428 : 这个蛮屌的，谢谢大大分享，我消化一下 04/06 01:00