作者Lanjaja ()
看板Math
标题[微积] 面积分面积元疑义
时间Fri Mar 22 14:38:07 2024
各位先进好！
最近阅读电磁学，读到圆柱座标的面积元：ds = ρdφdz (1)
觉得跟我以前学的好像有一点出入。
我在wiki查到有关圆柱座标，表格中有一列differential normal area
https://en.wikipedia.org/wiki/Del_in_cylindrical_and_spherical_coordinates
dS = ρdφdz e_ρ + dρdz e_φ + ρdρdφ e_z (2)
我没看过这种三项的面积元法向量，这是对的吗？
我有几个疑问想请教先进：
1. (2)是正确的吗？以前大一面积分，积分元只有双变数一项，
就是(2)中的一项而已。
如果写成积分，只需要其中一个分量，如此三个分量应该贡献一样，
不是应该写成dS = (1/3)(ρdφdz e_ρ + dρdz e_φ + ρdρdφ e_z)吗？
2. (1)只是(2)的e_ρ分量，ds = dS·e_ρ，是否表示(1)只能用在圆柱面上的表面积？
如果是不规则的形状，像是花瓶，(1)的有效性是不是让人怀疑？
3.我自己照着微积分课本将曲面以φ、z参数化，做出来dφdz前面的因子是有根号的，
明显不是ρ，所以到底是微积分课本正确，还是各家电磁学正确？
先谢谢各位的解答～
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※ 编辑: Lanjaja (36.227.118.97 台湾), 03/22/2024 14:40:15
1F：推 Vulpix : (2) 微积分课本也没错，但那是因为每次使用的时候 03/22 16:12
2F：→ Vulpix : 刚好dρ都是0。 03/22 16:13
3F：→ Lanjaja : 请问V大(2)是怎麽计算出来的？能否用符号计算做出？ 03/22 19:15
4F：→ Lanjaja : 电磁学的圆柱座标应该是一种座标方式，与要处理的曲 03/22 19:16
5F：→ Lanjaja : 面是否一定为圆柱面无关才对，否则圆柱面上可以化简 03/22 19:17
6F：→ Lanjaja : (1)，这个我没有问题，我只是想用圆柱座标做其他不 03/22 19:18
7F：→ Lanjaja : 规则曲面的计算 03/22 19:18
8F：→ Lanjaja : 关於1.的问题，作面积分，微积分课本都是使用(1)的 03/22 19:22
9F：→ Lanjaja : 其中一个分量当积分元做出的，如果真的用(2)做计算 03/22 19:23
10F：→ Lanjaja : 不会产生微积分课本做出来的结果*3倍吗？ 03/22 19:23