作者Honor1984 (奈何上天造化弄人？)
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标题Re: [其他] 请问如何求出这题的远近日点
时间Sat Mar 9 12:45:08 2024
※ 引述《iampig951753 (MultiOrganFailure)》之铭言：
: https://i.imgur.com/0hP9Gk9.jpg
: 如题
: 想了一整晚
: 完全没有头绪
: 比解出答案更痛苦
解出答案还会痛苦？
: 问人也没有找到解答
: 求救
: 或是这不需要找出远日点？
: 应该不可能吧？
这题应该比算出一个值还要多一些考虑
我先写出原本的计算问题
10R(v/2) = Rv' => v' = 5v，这只是切线速度分量而已
到达行星表面的速度V至少 >= v'，因为也有可能含有径向速度分量
-GMm/(10R) + (1/2)mv^2 = -GMm/R + (1/2)m(V)^2 >= -GMm/R + (25/2)mv'^2
=> 9GM/(10R) >= 12v^2
=> v <= √[3GM/(40R)]此为初始速度最大值，而非题目说的最小值
所以问题不是只是算出一个极值，还必须考虑到底是最大值还是最小值
也就是问题并没有完
设接近r = kR，k >= 1
10R(v/2) = kRV => V = 5v/k < 5v
令U = GMm/R，E = (1/2)mv^2
-GMm/(10R) + (1/2)mv^2 = (-GMm/r") + (25/2)m(V_t)^2 + (1/2)m(V_r)^2
V_r本身是k的函数
这里有个问题：会不会初始速度一发射後，本来就根本连行星表面都碰不到？
只用角动量和能量守恒可以算出一个极值，但是也无法解释其他问题
假设到达某r = kR时，无V_r分量
-GMm/(10R) + (1/2)mv^2 = (1/k)(-GMm/R) + (1/k)^2 (25/2)mv^2 + (1/2)m(V_r)^2
=> -U/10 + E = 25E(1/k)^2 - U(1/k)
令x = (1/50)(U/E)，可解出1/k
1/k_1 = x + √[x^2 - x/5 + 1/25]
1/k_2 = x - √[x^2 - x/5 + 1/25]
因为解的性质，
要求1/k_1 <= 1可解出v >= √[3GM/(40R)]，
到这里才知道所解的极值是最小值，
不是最大值。
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※ 编辑: Honor1984 (36.227.118.40 台湾), 03/09/2024 15:08:52
1F：推 arrenwu : 这只是切线速度分量而已 <--- "距离最近"或"距离最 03/09 15:38
2F：→ arrenwu : 远"的必要条件不就是 不能有径向速度吗？ 03/09 15:39
3F：推 arrenwu : 距离R的时候，如果径向还有速度，要不是会撞到地球 03/09 15:44
4F：→ arrenwu : 不然就是速度还可以再慢一点(有离心的径向速度) 03/09 15:44
5F：→ Honor1984 : 如果是抛物线呢？物体初始位置如果刚好在抛物线远离 03/09 15:44
6F：→ Honor1984 : 行星的那半边？这样不见得存在只有切线方向的速度分 03/09 15:45
7F：→ Honor1984 : 量 03/09 15:45
8F：推 arrenwu : 我有点不太清楚你描述的情况 03/09 15:50
10F：→ arrenwu : 的图 方便我了解你在描述的情况吗？XD 03/09 15:50
11F：→ Honor1984 : 假设行星中心到近日点当作对称轴，一半边是接近近日 03/09 15:50
12F：→ Honor1984 : 点，一半边是远离近日点。如果初始位置及初始速度刚 03/09 15:51
13F：→ Honor1984 : 好都落在远离近日点的那半支曲线，这样物体丢出之後 03/09 15:52
14F：→ Honor1984 : 都不可能再碰上对称轴上的近日或远日点 03/09 15:52
15F：→ Honor1984 : 抱歉不太会使用软体工具。你就把途中的轨迹改成躺着 03/09 15:53
16F：→ Honor1984 : 的抛物线，然後越来越远离行星，纵使有接近的位置， 03/09 15:54
17F：→ Honor1984 : 径像分量还是一直存在 03/09 15:54
18F：→ Honor1984 : 应该是说倾斜的抛物线，通过行星中心的对称轴是斜的 03/09 15:55
19F：→ Honor1984 : 我的作法也无法解释是否根本就到不了近日点，而是当 03/09 16:06
20F：→ Honor1984 : 近日点时的速度(只剩切线分量)，然後这个速度是最小 03/09 16:07
21F：→ Honor1984 : 值，另外还有个上限决定是否是椭圆轨道，但不是本题 03/09 16:07
22F：→ Honor1984 : 重点就是了 03/09 16:07
23F：推 arrenwu : 你看起来像是在说，需要证明"存在只有切线速度且 03/09 16:18
24F：→ arrenwu : 质点距离地心只有R的情况"？ 03/09 16:19
25F：→ Honor1984 : 对 03/09 18:44
26F：→ cmrafsts : 我不太懂你们在考虑什麽问题而不直接解出物体运动 03/10 04:50
27F：→ cmrafsts : 的轨迹来判定。先忽略行星的大小，因为角动量不为0 03/10 04:51
28F：→ cmrafsts : 轨迹就是二次函数的一部分，由|v|决定种类。那原题 03/10 04:52
29F：→ cmrafsts : 不会坠地就跟忽略行星体积後的轨迹不会进入|r|<=R的 03/10 04:53
30F：→ cmrafsts : 范围是一样的。 03/10 04:53
31F：→ cmrafsts : 你这篇一开始算的问题是「什麽状况下会在某时达到 03/10 04:57
32F：→ cmrafsts : r=R?」，所以算出来的是速度比某个值大就不可能。 03/10 04:58
33F：→ cmrafsts : 因为知道轨迹是二次曲线的一部分，加上初始角度知道 03/10 05:20
34F：→ cmrafsts : 一开始距离减少，所以一定会有最接近的时刻。假设最 03/10 05:21
35F：→ cmrafsts : 接近时的距离是|v|的连续函数，那有|v|趋近0和无穷 03/10 05:21
36F：→ cmrafsts : 大的极限分别是0和5R。那前一篇的解就可以确定是最 03/10 05:22
37F：→ cmrafsts : 小值。 03/10 05:22
38F：推 arrenwu : 现在情况比较像是在考虑怎麽样"容易地说明"什麽速度 03/10 11:49
39F：→ arrenwu : 下最多倒接近地心距离R的地方 03/10 11:49