作者mantour (朱子)
看板Math
标题Re: [中学] 转移矩阵机率
时间Thu Feb 22 23:38:08 2024
※ 引述《s89180 (Derekingdom)》之铭言：
: 请教各位：此题感觉可以利用转移矩阵算出，P能够算出来，但P'结果不如我所想，为何
: 这里不能用转移矩阵呢？
: https://i.imgur.com/u4gLZNP.jpg
: 下图为解答
: https://i.imgur.com/2XeYxyi.jpg
: 我有确认转移矩阵的定义：
: https://highscope.ch.ntu.edu.tw/wordpress/?p=51085
: 此题为111学测第五题
: 谢谢大家
题目要算的是 "已知筛检n次结果为阴性者，事实上为染病者的条件机率"
假设第n次筛检前, 染病机率为Pn-1, 未染病的机率为 Qn-1 = 1 - Pn-1
知道筛检结果为阴性後, 染病的条件机率为Pn, 未染病的条件机率为Qn = 1-Pn
利用贝式定理, 可得
Pn = Pn-1 * 0.2 / (Pn-1 * 0.2 + Qn-1 * 0.6) ......(E1)
Qn = Qn-1 * 0.6 / (Pn-1 * 0.2 + Qn-1 * 0.6) ......(E2)
由上式可知 (Pn-1,Qn-1) -> (Pn, Qn) 并不是一个线性关系
因此也就无法写成转移矩阵
这里可以直接叠代
(P0, Q0) = (0.3, 0.7) =>
(P1,Q1) = (0.125,0.875) =>
(P2,Q2) = (0.0455,0.955) =>
(P3,Q3) = (0.0156,0.984)
P1/P3 ~ 8
但是 !!!!
其实(E1)和(E2)可以很容易改写成线性的叠代关系
令 On = Pn/Qn, 称为阴性n次後为感染者的Odds (中译: 发生比 or 胜算)
则 (E1) / (E2) 即可得
On = 0.2/0.6 On-1 = 1/3 On-1
= (0.3/0.7) * (1/3)^n
O1 = 1/7 => P1 = O1/(1+O1) = 1/8
O3 = 1/63 => P3 = O3/(1+O3) = 1/64
=> P1/P3 = 8
这里你会发现每多筛出一次阴性, 为感染者的Odds就变为知道检验结果前的 0.2/0.6倍
而0.2/0.6 就是 感染者和非感染者在单次检验中被验出为阴性的机率的比值
这个比值叫做这个检验的 阴性盖似比 (negative likelihood ratio)
同理可以得到每多筛出一次阳性 为感染者的Odds就会变成知道检验结果前的
0.8/0.4 = 2 倍, 这就是这个检验的 阳性盖似比 (positive likelihood ratio)
引入odds和likelihood ratio的好处是可以很容易的算出以下问题的答案:
如果人群中感染者的比率是30%, 有一个人验出 阴 阳 阴 阳 阴, 那
他为感染者的机率是多少 ?
利用Odds和likelihood ratio
我们可以先求出他为感染者的 odds 为 0.3/0.7 * (1/3)^3 * 2^2 = 4/63
而他是感染者的机率就是 4/63 / (1+4/63) = 4/67 = 0.0597
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※ 编辑: mantour (220.137.26.23 台湾), 02/22/2024 23:39:16
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※ 编辑: mantour (220.137.26.23 台湾), 02/22/2024 23:50:13
※ 编辑: mantour (220.137.26.23 台湾), 02/22/2024 23:50:55
※ 编辑: mantour (220.137.26.23 台湾), 02/22/2024 23:51:58
1F：→ mantour : 照你写的转移矩阵，原本感染机率为p，验一次之後感 02/23 00:15
2F：→ mantour : 染机率变成0.8p+0.4(1-p)，但是条件机率并不是这样 02/23 00:15
3F：→ mantour : 算的 02/23 00:15
4F：→ mantour : （*照原Po) 02/23 00:16
5F：推 s89180 : 阿，感觉有点太深奥，我先慢慢咀嚼一下，谢谢mantou 02/23 19:23
6F：→ s89180 : r! 02/23 19:23
7F：→ musicbox810 : 分母的(Pn-1 * 0.2 + Qn * 0.6)的Qn不是Qn-1吗? 02/23 19:43
打错, 感谢提醒, 已更正
8F：→ musicbox810 : 可以解释一下最後一个算式4/63 / (1+4/63)的意思吗? 02/23 19:49
o = p/(1-p) => p = o/(1+o)
※ 编辑: mantour (220.137.26.23 台湾), 02/23/2024 20:50:21
9F：→ musicbox810 : 感谢解释，懂了! 02/23 21:07