作者alan23273850 (God of Computer Science)
看板Math
标题[微积] 一题超级难的类微分与最佳化问题
时间Tue Jan 16 23:11:22 2024
如题，本鲁刚修完台大的 information theory 课程，期末考 3(b) 用 KKT 解最佳化
不但某个 case 的反函数没有 closed form，而且本题只配 8 分，好这不是重点。
我最後余下的问题是，给你一个 obj = log2(1+r+r^2+...+r^d) - log2(r)*B，
其中 d 是非负整数，且 0 <= B <= d/2 (这个上界我猜不需要)，且 r >= 0 必须满足
1*r^1+2*r^2+3*r^3+...+d*r^d = B * (1+r+r^2+...+r^d)，
已知如果定义 f(r) := (r+2*r^2+3*r^3+...+d*r^d) / (1+r+r^2+...+r^d)，
则在 r >= 0 之下 f 严格递增，言下之意 f(r)=B 有唯一解 r。
事实上，f(0) = 0，f(1) = d/2，f(inf) -> d.
那现在我想知道的是，维持一定的游戏规则，当 B 固定，d 增加的时候，obj
会保证增加吗？是否有反例？这个缺口补上之後，这一题的检讨才算真正完毕。
丰厚批币款待，穴穴各位！
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 140.112.218.58 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1705417885.A.947.html
※ 编辑: alan23273850 (140.112.218.58 台湾), 01/17/2024 00:29:49
1F：→ alan23273850: 我好像解出来了，答案是肯定的！我把原 obj 用连锁 01/17 01:14
2F：→ alan23273850: 率以 r 为中间变数对 B 作微分之後，运用反函数的 01/17 01:14
3F：→ alan23273850: 微分公式消去一些项之後，剩下 -log2(f^-1(B))，又 01/17 01:14
4F：→ alan23273850: 根据 f 的函数图形，B 固定的时候 d 递增则 f^-1(B 01/17 01:14
5F：→ alan23273850: ) 递减则 -log2(f^-1(B)) 递增，此现象对每个 B 都 01/17 01:14
6F：→ alan23273850: 如此，因此 obj 从原点出发的时候就永远是大的 d 01/17 01:14
7F：→ alan23273850: 赢了！ 01/17 01:14
8F：→ alan23273850: 事实上 B 还必须 > 0 才行 01/17 01:27
9F：→ alan23273850: 如果还要更细致的讨论的话，就是这个函数在 B=0 和 01/17 02:15
10F：→ alan23273850: B>0 之间也许没有连续，所以如果只依赖 B->0 时的 01/17 02:15
11F：→ alan23273850: 函数值 -> 0 for all d 的话，要怎麽 claim 大 d 01/17 02:15
12F：→ alan23273850: 的函数值较大还是个问题... 01/17 02:15
13F：→ musicbox810 : 请问你们课本是用哪一本？ 01/17 10:07
14F：→ alan23273850: 老师开口闭口都是 cover & thomas，还有另外几本比 01/17 10:55
15F：→ alan23273850: 较次要的 01/17 10:55
16F：→ musicbox810 : 谢谢，我最近也想学一些动态最佳化 01/17 11:09
17F：→ alan23273850: 那是 information theory 的课本不是 optimisation 01/17 12:23
18F：→ alan23273850: 专书 01/17 12:23
19F：→ musicbox810 : 谢谢，弄错了，真尴尬>< 01/17 14:22
20F：→ alan23273850: 最後终於把整个问题全剧终，从原点极限搭配向右出 01/18 17:59
21F：→ alan23273850: 发的大小关系便可以 implies 函数永久的大小关系， 01/18 17:59
22F：→ alan23273850: OBJ 跟老师从作业结论 reduce 过来的解一模一样， 01/18 17:59
23F：→ alan23273850: 老师真的猴腮雷！这小题的检讨我写了四面答案卷， 01/18 17:59
24F：→ alan23273850: 希望其他题不会让我这麽崩溃 01/18 17:59
25F：→ alan23273850: * 20F：向右出发的「斜率」大小关系 01/18 18:00
26F：→ alan23273850: 然後 B = 0 有唯一解 0 01/18 20:01
27F：推 raiderho : 1.「维持一定的游戏规则」是什麽意思？2.建议交代一 01/19 10:00
28F：→ raiderho : 下题目背景，或者乾脆写出整个第四大题，这种较复杂 01/19 10:00
29F：→ raiderho : 的题目，更需要给别人参与讨论/解决问题的动机 01/19 10:00