作者ozobrian (围墙)
看板Math
标题[代数] 一个国中代数的复数解可能性疑问
时间Mon Jan 1 08:32:49 2024
先说问题，以免我等下废话打太多
若a、b、c皆为正实数、d、e皆为实数
且a>b、c<(a^2-b^2)^0.5
是否存在x=d+ei满足
(a^2-x^2)^0.5+(b^2-x^2)^0.5=c
若存在，那解(d,e)是否存在通解?
---------------------以下问题来源(不是很重要)
这问题来源自近期无聊看到一个的问题的延伸
一开始是
(16-x^2)^0.5+(9-x^2)^0.5=5
求解x
解法应该挺多的
我自己第一时间想到的解法是
画两个圆心在(0,0)，半径分别是3、4的圆
再加一条垂直线x=a切过两圆
交大圆於(a,?)、交小圆於(a,-??)
然後就会发现是个直角三角形
a则是会是该三角形的高，加正负号就是本题解
後来则想了想，如果把16、9、5改成a^2、b^2、c
那这题是否有通解?
即(a^2-x^2)^0.5+(b^2-x^2)^0.5=c
若a、b、c皆为正实数，x是否存在通解?
由於上面的解法，不难推导出通解
x=[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]^0.5 / 2c
即三角形三边长面积公式*2/底
可是这算法是建立这个xy平面的图画得出来的情况
也就是说，若x存在实数解才成立才对
所以其实必须有c>=(a^2-b^2)^0.5 (假设a>=b)
因此用a=4、b=3、c=2代入通解後就会发现错误
因此继续思考
那x是否可能为虚数解?
但这就超出本人数学能力
所以才有了最上面的提问
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1F：→ musicbox810 : a=4、b=3、c=2为什麽错？ 01/01 14:04
代入後题目变成
(a^2-x^2)^0.5+(b^2-x^2)^0.5=c
>> (16-x^2)^0.5+(9-x^2)^0.5=2
通解变成
x=[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]^0.5 / 2c
=(9*5*3*1)^0.5/4=根号(135)/4
反代回去题目变成
(16-135/16)^0.5+(9-135/16)^0.5=11/4+3/4=7/2=/=2
从我上面说的几何方式作图会发现作出一个三角形(两个半径+x=k的线)
且当k=b的时候(直线与小圆相切)时 会是c的最小值
若题目c小於(a^2-b^2)^0.5则画不出该直线
从代数角度来看，对於f(x)=(a^2-x^2)^0.5+(b^2-x^2)^0.5方程
若a>=b的话
x=b的时候会有最小值
此时f(x)=(a^2-b^2)^0.5
因此如果c小於(a^2-b^2)^0.5时，x不存在实数解
※ 编辑: ozobrian (123.194.169.50 台湾), 01/01/2024 19:40:31
2F：推 LPH66 : 你有注意到的话, 在你代回去不合的那里 01/01 21:21
3F：→ LPH66 : 11/4+3/4 = 7/2≠2, 但 11/4-3/4 = 8/4 = 2 01/01 21:21
4F：→ LPH66 : 因此这里某种程度上是方程两边平方造成的增根 01/01 21:22
5F：→ LPH66 : 既然问题在平方增根, 那来到复数讨论只会更复杂 01/01 21:23
6F：→ LPH66 : 因为到了复数我们已经没有「写√表示正值」的约定了 01/01 21:24
7F：→ LPH66 : 会需要考虑根号要取哪个平方根才能在方程转换时正确 01/01 21:25
8F：→ ozobrian : 对 我有在返算时发现增根问题 因此才会想到复数 01/01 21:35
9F：→ ozobrian : 但复数取根号的部分就想不到怎麽运算了 01/01 21:35