请教一个由delta函数的特解求得general函数特解的问题 我会先在【定义与前因】叙述定义、观察与问题, 在由【实际例子】去观察我遇到的现象 =================================================== 【定义与前因】 令 a :Z→R为一数列, 满足a_0=1 a_N!=0, N>=1 a_n=0, else n x :Z→R为一数列 δ:Z→R为delta函数, δ_0=1, 其余为0 * :乘法 ＊:摺积 S_x := {y:Z→R│a＊y=x}, 为满足a＊y=x的解y所形成的解空间 y_x := S_x中的一个元素, 只是符号让我不用一直打"a＊y=x的特解" (a＊y=x写开就是y_n+a_1*y_(n-1)+...+a_N*y_(n-N)=x_n, N阶非齐次线性递回方程) P.S. 通篇若有收敛性讨论只定义在逐点收敛, 不把l^p定义放进来比较乾净 而且能适用的解空间最广 接着很容易推导得: 若x有紧致支撑, 则y€S_δ=> y＊x€S_x 也就是说, 你要解任何a＊y=x的特解, 其实你都只要知道a＊y=δ的特解即可 只要把y_δ去跟x做摺积就会是a＊y=x的特解 我的问题在於, 如果x没有紧致支撑, 那y_δ＊x很容易不收敛, 这样y_δ还能帮助我们得到y_x吗? 之前板友提到就像实变那样把x乘上一个特徵函数χ_[-M,M]让他具有紧致支撑 然後再把M趋近於无穷大, 今天我用实际例子做一遍时发现有机会但是没那麽稳定 即乘χ_[-M,M] or χ_[-2M,2M] or χ_[-2M-1,2M+1]甚至会有差别 所以才想问这问题有没完整的答案, 还是x非紧致就是会有各种事情发生 By the way, 易证得: 令x^M := x*χ_[A(M),B(M)], A(M)趋近於-∞, B(M)趋近於∞ 若 y_δ＊x^M 逐点收敛, say Y 则 Y会是a＊y=x的特解 也就是说, 今天你取的特徵函数如果够好, 让他跟x相乘後再去跟y_δ做摺积是收敛的 那这个收敛後的数列就会是a＊y=x的特解 【实际例子】 令N=1, a_N=1 １为全部都是1的数列 则a＊y=x <=> y_n+y_(n-1) = x_n, 一个简单的一阶非齐次线性方程 当x=δ时, (y_δ)_n := 0 , n>=0 为a＊y=δ的特解 (-1)^(n+1), else 当x=１时, (y_１)_n := (1/2)*(1+(-1)^n) 为a＊y=１的特解 接着就能观察到几件事:(配合 https://www.desmos.com/calculator/ke87t1igh5 拉动M滑杆可以模拟M→∞) (1) y_δ＊１不收敛: 因为y_δ＊１照定义写出来会变成一堆+1与-1相加, 值跳来跳去 提醒一下, 如果今天x有紧致支撑, 那y_δ＊x绝对没问题, 而且 就会是a＊y=x的特解 (2) 对１乘χ_[-M,M]: 令１^M := １*χ_[-M,M] = χ_[-M,M] 则y_δ＊１^M就是a＊y=１^M的特解没问题 然後把逐点(for each n)把M逼近到无穷大 我们得到 lim_{M→∞} (y_δ＊１^M)_n 一直震荡不收敛 参考连结中的y_M点列 (3) 对１乘χ_[-2M,2M]: 令１^2M := １*χ_[-2M,2M] = χ_[-2M,2M] 我们得到 lim_{M→∞} (y_δ＊１^2M)_n = (1/2)*(1-(-1)^n) 确实是a＊y=１的特解 (4) 对１乘χ_[-2M-1,2M+1]: 令１^2Mp1 := １*χ_[-2M-1,2M+1] = χ_[-2M-1,2M+1] 我们得到 lim_{M→∞} (y_δ＊１^2Mp1)_n = (1/2)*(1+(-1)^n) 确实是a＊y=１的特解 有了以上观察, 对我来说(3)跟(4)虽然收敛到不同的特解, 但是只要是特解我就OK 而(2)就有点惨不收敛, 不过却发现他的不收敛的震荡是在两个特解中震荡... 感觉又没那麽惨, 存在子列是特解的感觉 也就是因为这个例子, 让我说取特徵函数χ_[?,?]这个方式不太稳定 取得好就是特解, 取不好就不收敛, 但是即便不收敛好像又能贡献出些讯息 我猜测是因为这个例子比较简单, 说不定有怎麽取特徵函数都不收敛的例子XD? ================================================================= 以上是我对这个问题的描述跟观察 再请有涉猎的板友解惑一下, 感恩! --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 123.241.88.179 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1700156785.A.709.html ※ 编辑: znmkhxrw (123.241.88.179 台湾), 11/17/2023 02:06:45 嗨V大, 这样拆的话, 令x1=…000111…., x2=…111000…, 则y_delta跟x1摺积发散, 跟x2? 积爲0耶@@? ※ 编辑: znmkhxrw (123.241.88.179 台湾), 11/17/2023 05:09:33 嗨V大, 对a * y = delta做z转换过去再转回来可以解得不同收敛区域的特解h没错, 任取其 中一个h的话, 只要x有紧致支撑, h * x就会是a * y = x的特解, 但是一旦x没有紧致支撑? h * x很容易发散 ※ 编辑: znmkhxrw (114.137.116.193 台湾), 11/23/2023 14:54:08 对 有问题的地方会是一样的 你的例子中的x_2就是我的全1的数列 自然Z(x_2） 毫无收敛? 区间 用WZ的方式一样无法绕过去 後来我用l^1的h後, x就可以放宽到所有有界数列, 算是可以接受的范围. 而且l^1的h的存? 性只要特徵多项式没有绝对值为1的零点就可以找到l^1的h 原本我是想知道有没有什麽《不刻意》的a跟x的条件可以让a * h = delta的h * x都能是a * y = x的解. 原文中的条件《a不限定, x有紧致支撑》我觉得范围太狭隘了 因为实用上滤 波器的x几乎都没有紧致支撑甚至是周期函数, 所以才发问, 後来上面那段说到《a特徵多项 式没有绝对值为1的零点, x有界》也是一组充分条件, 这组条件在滤波器几乎都符合, 因此 我觉得可以接受 如果V大有其他的feedback再分享, 谢谢! ※ 编辑: znmkhxrw (36.230.129.62 台湾), 11/23/2023 19:18:24 嘿对, 所以我目前放弃那些没有l^1的h的a, 觉得这样的a是不稳定的而且蛮少的尚可接受XD ※ 编辑: znmkhxrw (42.79.35.11 台湾), 11/25/2023 22:57:14