作者yhliu (老怪物)
看板Math
标题Re: [离散] relation相关问题
时间Sun Nov 5 07:55:21 2023
※ 引述《amamoimi (佛仔)》之铭言：
: 课本上有一个题目
: suppose that R is a relation on X that is symmetric and transitive but not reflx
: ive. Suppose also that |X| >=2. Define the relation P (课本上写R bar 但是我打不
: 出
: 来）on X by =X× X-R. Which of the following must be true? for each false state
: ent, provide a counterexample.
: a. P is reflxive
R 不是 reflexive, 表示存在 x in X s.t. xPx, 但
并非表示 for all x in X, we have xPx.
也就是说 P 并非一定 reflexive。举个反例就是答案。
: b. P is symmetric
Ｒ 是 symmetric, 所以
若 xPy 则 not xRy 则 not yRx (否则 xRy）
也就是 yPx。
所以 P 是 symmetric.
: c. P is not antisymmetric.
Antisymmetric 是说 xPy 且 yPx 则 x = y.
也就是说：若 not xRy 且 not yRx 则 x = y?
显然是不一定的，
只要 X 中有 x != y 使其不具 R 关系，
就是 xPy 且 yPx，但 x != y。
据此举个反例即是。
: d. P is transtive.
xPy, yPz 当然不一定 xPz
因为可以 xRz, 但 x, z 都与 y 不具 R 关系。
这就是反例，只是举 X 中三个不同元素；甚至可以 x = z,
也就是说 |X| = 2 也成立，并不限於 |X| = 3.
: 课本的解答是直接用X={1,2,3}当例子去解，
: 错误的是可以直接举出反例没问题，但是正确的这样做应该不算证明吧？
: 想问这题有没有更精确的证明方式呢？
: 谢谢
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1F：推 amamoimi : 谢谢大大 明白了！ 11/05 13:59
2F：→ musicbox810 : not xRy在这里是指x和y没有R的关系吗? 11/05 22:22
3F：→ yhliu : 是的。 11/06 07:55
4F：→ musicbox810 : 谢谢yh大 11/06 09:39
5F：推 amamoimi : 欸等等 不过解答c.是对的耶（没解释） 11/08 08:58
6F：→ yhliu : 对啊！举反例说明不是 anti-symmetric 11/09 13:46