※ 引述《choun (原来跑步这麽舒服)》之铭言： : https://imgur.com/a/4P3sxIF : 第一张图是上上周在这里问过大大们的，有Starvilo、Vulpix、deathcustom 等大大 : 给了许多好方法算出来答案，万能k法、分母化型的算几~~ 谢谢大大们 : 最後是由 deathcustom大大发现此四点共圆的观察！ : ====== : 第二张图其实也是我之前问过大大们的，可能是几个月前吧… : 我後来回去看才发现根本是同一题，这次我用四点共圆的方式来做！简单明了！ : 酷~~~ : ====== : 但是我完全证明不出来，为什麽P点跟ABB' (或BAA') 共圆时，两线段的比例会有 : 极值… 想了一个星期了… 还是想不出来… : 所以整理一下两题的题目跟细节想请大大们有空帮忙给点线索！！ : 谢谢！！！ let A = (Xa,Ya) B = (Xb,Yb) P = (x,0) A(x) = PA^2 = (Xa-x)^2 + Ya^2 B(x) = PB^2 = (Xb-x)^2 + Yb^2 for all PA>0 and PB>0 the extremum of PA/PB is corresponding to the extremum of (PA/PB)^2 let R(x) = [PA/PB]^2 = A(x)/B(x) R'(x) = [A'B-B'A]/B^2 the extremum exists at A'B=B'A A(x) = x^2 - 2Xa*x + Xa^2 + Ya^2 A' = 2x - 2Xa B(x) = x^2 - 2Xb*x + Xb^2 + Yb^2 B' = 2x - 2Xb A'B=B'A then we have: (x-Xa)(x^2-2Xb*x+Xb^2+Yb^2) = (x-Xb)(x^2-2Xa*x+Xa^2+Ya^2) 左侧:x^3 - Xa*x^2 - 2Xb*x^2 + 2XaXb*x + (Xb^2+Yb^2)x - Xa(Xb^2+Yb^2) 整理得: x^3 - (Xa+2Xb)x^2 + (2XaXb+Xb^2+Yb^2)x - Xa(Xb^2+Yb^2) 同样右侧整理得: x^3 - (Xb+2Xa)x^2 + (2XaXb+Xa^2+Ya^2)x - Xb(Xa^2+Ya^2) 左侧-右侧得 (Xa-Xb)x^2 - [(Xa^2+Ya^2)-(Xb^2+Yb^2)]x + Xb(Xa^2+Ya^2)-Xa(Xb^2+Yb^2)=0 得到两解XM跟Xm的中心点(平均值)为： [(Xa^2+Ya^2)-(Xb^2+Yb^2)]/[2Xa-2Xb] 两解与中心点的间距为 sqrt{[(Xa^2+Ya^2)-(Xb^2+Yb^2)]^2/(2Xa-2Xb)^2-[Xb(Xa^2+Ya^2)-Xa(Xb^2+Yb^2)]/(Xa-Xb)} 经验证，两解(极大值与极小值)的确就是AA'BB'P共圆的圆与直线(x=0)相交两点 几何上的说明可能就是要请其他大神了QQ 推广一般化叙述： 直线L外两点A、B到直线L上一点P的长分别为PA、PB PA/PB的最大值与最小值出现在线AB的中垂线与直线L的交点C为圆心、通过AB两点的圆 与直线L相交的两点上 --

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