作者LPH66 ( )
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标题Re: R: [其他] 国小竞赛题
时间Thu Oct 26 09:05:02 2023
※ 引述《goodwang (手牵手一起去奔跑)》之铭言：
: 焚化炉原有垃圾M，垃圾车每日载运t，1组焚化炉美日焚毁效率k
: M + 18t = k * 9 * 18
: M + 15t = k * 11 * 15
: 但M和t和k为正
: 所以M+18t会大於M加15t
: 可是162k却没有大於165K
: 所以代表应该不是等式的情形
: 我在源头那篇是用
: k * 9 * 17<M + 18t 小於等於 k * 9 * 18
: k * 11 * 14<M + 15t 小於等於 k * 11 * 15
: 去讨论一下
这里有点微妙的不对
正确的式子应该是
M + 17t > k * 9 * 17 (A) (9 台 17 天烧不完)
M + 18t <= k * 9 * 18 (B) (9 台 18 天烧完了)
M + 14t > k * 11 * 14 (C) (11 台 14 天烧不完)
M + 15t <= k * 11 * 15 (D) (11 台 15 天烧完了)
如果将上面的式子利用原题型的解法求量差的话
上面能消掉 M 的四种组合中
(B)-(A) 只得 t < 9k, (D)-(C) 只得 t < 11k
只代表开 9 台或 11 台能够消化一天的量
(D)-(A) 得到 -2t < 165k-153k = 12k 即 t > -6k 无意义
只有 (B)-(C) 得到 4t < 162k-154k = 8k 即 t < 2k 即每天垃圾量小於两台烧的量
因为我们只得出 t < 2k 的条件，下限只有自然下限 0
这代表当 t 很小时，启动的炉都在烧现有的垃圾，新垃圾所增加的工作不多
这样一来 9 台 18 天和 11 台 15 天的中间就有可能 10 台 16 天烧不完要到 17 天
随便举个例子：如果 t = 0.5k 且 (B) 为等式
那 M = 162k - 18*0.5k = 153k
容易检验 M = 153k, t = 0.5k 也满足其他不等式
此时开 10 台所需时间是 M/(10k-t) = 153k/(10k-0.5k) ~ 16.1 > 16
出现了要 17 天才能烧完的状况了
你所取的 t 只有小到 1k，这个状况 16 天是刚好烧完的，你的问题在这里
================
不过这题其实还有另一个思考方式：
题设条件如果专注在天数上的话可以写成这样：
17 < M/(9k-t) <= 18
14 < M/(11k-t) <= 15
然後我们想求的是 M/(10k-t) 的范围
这样写起来就能发现其实可以将不等式取倒数变成：
1/18 <= (9k-t)/M < 1/17
1/15 <= (11k-t)/M < 1/14
那麽我们想求的 (10k-t)/M 就可以相加除以 2 求得了
但 (11k-t)/M 这个量代表什麽？
代表在 11 台开动的状况下每天消耗的原垃圾量占最开始的垃圾量比例
也就是在这个想法中，我们其实只关心原有垃圾的消耗率
新垃圾只不过是不让加一台增加的比例是简单的 10/9 或 11/10
而是差一个常数的 (10k-t)/(9k-t) 或 (11k-t)/(10k-t) 而已
但当我们不看这个麻烦的倍数而看增加量的话
开 10 台比开 9 台每天多一台的消化量，开 11 台又会再多一台
我们想求的开 10 台的消耗率就会是开 9 台跟开 11 台的两个比例的平均
这就是上面的不等式相加除以 2 的解释了
这样求出来的结果，(10k-t)/M 最大值是 31/476 ~ 1/15.35
最小值是 11/180 ~ 1/16.36
同样也求出有 16 天烧不完要到 17 天才烧完的状况
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※ 编辑: LPH66 (180.217.226.100 台湾), 10/26/2023 09:13:09
※ 编辑: LPH66 (180.217.226.100 台湾), 10/26/2023 09:14:00
1F：推 goodwang : 感谢回覆，只是国小出这种题目，代数处理挺复杂的 10/26 12:01
2F：→ LPH66 : 你有注意到的话，我的後一种做法补了国小程度的解释 10/26 14:32
3F：→ LPH66 : 关键的「消耗占原有垃圾比例」确实不容易直接想出 10/26 14:33
4F：→ LPH66 : 但找出这比例後，之後的推论其实是国小程度 10/26 14:34
5F：→ LPH66 : 我想这可能是题目会归属於国小资优题的原因 10/26 14:35
6F：→ LPH66 : 至於要怎麽想到这一点？我认为可以从一般工作问题的 10/26 14:36
7F：→ LPH66 : 「工时」和「工作量」之间转换的概念开始发想 10/26 14:36
※ 编辑: LPH66 (180.217.226.100 台湾), 10/26/2023 14:37:32
8F：→ LPH66 : 然後需要加上最後一天工作量可能不满的情形 10/26 14:38
9F：→ LPH66 : 导出最小 1/18 最大 1/17 这样的区间，就等同於 10/26 14:39
10F：→ LPH66 : 我的倒过来的不等式了 10/26 14:39
11F：→ cuteSquirrel: 好文 10/26 15:51
12F：推 goodwang : 赞！感恩 10/26 21:06