作者hiu (闭门造爱)
看板Math
标题Re: [中学] 复数的极式
时间Tue Oct 17 17:08:37 2023
※ 引述《Honor1984 (奈何上天造化弄人？)》之铭言：
感谢大大!!
: ※ 引述《hiu (闭门造爱)》之铭言：
: : w = cos36度 + i sin36度
: : 求 (1 - w)(1 - w^2)(1 - w^3)(1 - w^4)=?
: : 我的作法:
: : 因为 w^5 = -1
: : 乘开整理 经过一连串的计算 变成(w^3 + w^7) + (w^4 + w^6)
: : 上式虚部刚好消掉 变成 -2(cos36度 + cos72度)
: : 得到答案 负根号5
: : 但如果没有背cos36度 与 cos72度
: : 这题後面就很麻烦
: : 请问有没有复数极式的做法 不需要背cos36度 与 cos72度
: : 来做这题呢?
: 显然w^10 = 1
: (x - w)(x - w^2)...*(x - w^9) = (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ... + x^9)
: (1 - w)(1 - w^2)...*(1 - w^9) = 10
(我稍微补充 上下这两步骤之间的算式)
由於
|1 - w|=|1 - w^9|
|1 - w^2|=|1 - w^8|
|1 - w^3|=|1 - w^7|
|1 - w^4|=|1 - w^6|
故
: => (1 - w^5)|(1 - w)(1 - w^2)(1 - w^3)(1 - w^4)|^2 = 10
: => |(1 - w)(1 - w^2)(1 - w^3)(1 - w^4)|^2 = 5
: 又
: (1 - w)(1 - w^2)(1 - w^3)(1 - w^4)
: = (w + w^4)(w^2 + w^3)
: = -(1/w^2 + 1/w + w + w^2) < 0
: 所以(1 - w)(1 - w^2)(1 - w^3)(1 - w^4) = -√5
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