作者yhliu (老怪物)
看板Math
标题Re: [中学] 根号问题
时间Sat Sep 30 07:57:34 2023
※ 引述《kkman162 (不怕是一种幸福)》之铭言：
: 不好意思，想请问一下这题
: 真的没什麽想法，是用估算的吗?
: https://imgur.com/SH7mvwM
n = 66
n^2 n-1 (j+1)^2-1
原式 = Σ 1/√k = Σ Σ 1/√k + 1/n
k=1 j=1 k=j^2
图示方式可看出
q
(q-p+1)/√[(p+q)/2] ≦ Σ 1/√k ≦ (q-p+1)(1/√a + 1/√b)/2
k=p
因为加总的数列图示如果成直线则刚好 = 项数*中点 = 项数 * 首尾平均,
而上列下限取中点切线, 上限取弦.
(j+1)^2-1
故 Σ 1/√k 介於 (2j+1)/√[j(j+1)] 与 (2j+1)(1/j+1/√[j(j+2)])/2 之间
k=j^2
前者(下界)大於 2; 後者(上界)小於 (2j+1)^2/[2j(j+1)] = 2 + 1/[2j(j+1)]
n-1
故 2(n-1) + 1/n ≦ 原式 ≦ 2(n-1) + Σ (1/2)[1/j-1/(j+1)] = 2(n-1) + (1-1/n)/2
j=1
两端整数部分都是 2(n-1) = 130
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 1.170.82.33 (台湾)
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※ 编辑: yhliu (1.170.82.33 台湾), 09/30/2023 08:02:33