作者Honor1984 (奈何上天造化弄人？)
看板Math
标题Re: [几何] 弓形面积公式
时间Thu Sep 7 19:51:16 2023
※ 引述《hank791221 (阿宏)》之铭言：
: 各位好，想请教弓形面积不是用扇形-三角形，故只要知道半径跟圆心角度数即可求出吗？
: 但今天遇到有人说用弦长乘弧长乘2/3就可以得出近似值，想请问这个公式是怎麽推导得出
: 的呢？
你的近似式是错的，好吗？
正确的近似式是
Area ~ (2/3) 弦长 * 弓形高
当角度θ很小时，
θ ~ sinθ + (1/6)[sin(θ)]^3
Area = (1/2)(r^2)θ - (1/2)(r^2)sinθ
~ (1/12)(r^2)(sinθ)^3
= [2rsin(θ/2)] (1/3) r [cos(θ/2)]^3 [sin(θ/2)]^2
= 弦长 (2/3) [cos(θ/2)]^3 [cos(θ/4)]^2 [2r{sin(θ/4)}^2]
= (2/3) 弦长 * 弓形高 * f(θ)
其中
f(θ) = [cos(θ/2)]^3 [cos(θ/4)]^2
= (1/16)cos(θ/2)[sinθ / sin(θ/4)]^2
当θ→0，f(θ)→1
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