提供另一种证法， 已知 存在唯一的插值多项式 和 不同插值条件 插值多项式的首项系数， 证明会符合条件。 定理 ￣￣ 设 x_0, x_1,..., x_n 为 [a,b] 区间中 n+1 个不同的点， m_i 为 x_i 重复出现的次数(正整数)，N = Σ_{k=0到n} m_k, z_0, z_1,..., z_{N-1}为包含重复的 x_0, x_1,..., x_n 共 N 个点的任一种排列方式. 函数 f(x) 有适当的条件，f[z_0,z_1,...,z_{N-1}] 是均差。 N-2 令 p(x) = f[z_0] + f[z_0,z_1] (x-z_0) + ... + f[z_0,z_1,...,z_{N-1}] Π (x-z_k). k=0 假设 次数至多 J-1 次、唯一、满足插值条件： y_0, y_1,..., y_j 是 j+1 个不同的点， r_i 为 y_i 重复出现的次数(正整数)，J = Σ_{k=0到j} r_k, 对 i = 0,1,...,j 以及 所有 m 满足 0 ≦ m ≦ r_i -1 都有 q^(m)(y_i) = f^(m)(y_i), 的插值多项式 其首项系数为 f[y_0,...,y_i,..,y_i,...,y_j]. └────┘ r_i个y_i 则 对於 i = 0,1,...,n 以及 所有 m 满足 0 ≦ m ≦ m_i -1 都有 p^(m)(x_i) = f^(m)(x_i). 注：p^(m) 表示函数 p 微 m 次，p^(0)(x) = p(x). 证明： 1. 已知 存在次数至多 N-1 次、唯一的插值多项式 P(x) 满足插值条件。 N-2 因为 {1,(x-z_0),...,Π (x-z_k)} 是 N-1 次多项式的一组 basis, k=0 所以存在唯一的系数 c_0, c_1,..., c_{N-1} 使得 N-2 P(x) = c_0 + c_1 (x-z_0) + ... + c_{N-1} Π (x-z_k). k=0 2. 证明对 i = 0,1,...,N-1 都有 c_i = f[z_0,z_1,...,z_i]. 用数学归纳法。 (1) c_0 = P(z_0) = f(z_0) = f[z_0]. (2) 假设对 i = 0,1,...,j-1 都有 c_i = f[z_0,z_1,...,z_i]. 设 r_i 为 x_i 在 z_0, z_1,..., z_j 出现的次数(整数)。 j-1 令 P_j(x) = c_0 + c_1 (x-z_0) +...+ c_j Π (x-z_k) 为 P(x) 的前 j+1 项。 k=0 从 P(x) 的後 N-(j+1) 项容易看出 对每个 x_i ∈ {z_0,z_1,...,z_j} 以及 所有 m 满足 0 ≦ m ≦ r_i -1 都有 P_(j)^(m)(x_i) = f^(m)(x_i). 另外，P_j(x) 是至多 j 次的多项式， 因此由插值多项式的唯一性知 P_j(x) 是满足 j+1 个条件的插值多项式。 已知 满足那 j+1 个条件插值多项式的首项系数是 f[z_0,z_1,...,z_j], 故 c_j = f[z_0,z_1,...,z_j]. 由数学归纳法，i = 0,1,...,N-1 都有 c_i = f[z_0,z_1,...,z_i] 3. 由 2. 知 P(x) = p(x), 因此 p(x) 满足插值条件。 □ 接下来回过头来证明 不同插值条件 插值多项式的首项系数长什麽样子， 过程中先证明 高阶导数版本的 Neville's algorithm. 定理 ￣￣ 设 x_0, x_1,..., x_n 为 [a,b] 区间中 n+1 个不同的点， m_i 为 x_i 重复出现的次数(正整数)，N = Σ_{k=0到n} m_k, 函数 f(x) 有适当的条件，f[x_0,...,x_i,..,x_i,...,x_n] 是均差。 └────┘ m_i个x_i 设 s_0, s_1,..., s_{N-1} 为 0 到 n 的整数，数字 i 总共重复出现 m_i 次， P_{s_0,s_1,...,s_{N-1}}(x) = P_{0^{m_0},1^{m_1},...,n^{m_n}}(x) 为 次数至多 N-1 次、唯一的插值多项式满足插值条件： 对 i = 0,1,...,n 以及 所有 m 满足 0 ≦ m ≦ m_i -1 都有 P^(m)_{s_0,s_1,...,s_{N-1}}(x_i) = f^(m)(x_i). 则 N-1 f^(k)(x_0) (1) 当 n = 0, 对所有 N > 0, P_{0^N}(x) = Σ ────── (x-x_0)^k. k=0 k! (2) 当 n > 0, 对所有 k 不等於 h, https://i.imgur.com/aRny5PA.png (3) P_{s_0,s_1,...,s_{N-1}}(x) 的首项系数是 f[x_0,...,x_i,..,x_i,...,x_n]. └────┘ m_i个x_i 证明： N-1 f^(k)(x_0) (1) 令 p(x) = Σ ────── (x-x_0)^k. k=0 k! p(x) 是至多 N-1 次的多项式，容易验证 对所有 m 满足 0 ≦ m ≦ N-1 p^(m)(x_0) = f^(m)(x_0). 由唯一性，P_{0^N}(x) = p(x). (2) 令 https://i.imgur.com/lJWUkTJ.png 显然 p(x) 是至多 N-1 次的多项式。 (a) 当 i 不等於 k 和 h, https://i.imgur.com/PPs6OkQ.png 对於所有 m 满足 1 ≦ m ≦ m_i -1, https://i.imgur.com/7VLRpU5.png (b) 当 i 等於 k 和 i 等於 h, 因为分子分母同乘 -1 时 h, k 位置互换，所以不失一般性，假设 i = k. https://i.imgur.com/soHLiwz.png 对於所有 m 满足 1 ≦ m ≦ m_k -1, https://i.imgur.com/YsnzPVu.png 由唯一性， https://i.imgur.com/aRny5PA.png (3) 用数学归纳法。 (a) N = 1 时，P_{0}(x) 的首项系数是 f(x_0) = f[x_0]. (b) 假设 N = j-1 时成立。令 N = j. f^(j-1)(x_0) (i) n = 0 时，P_{0^j}(x) 首项系数 为 ────── = f[x_0,....,x_0]. (j-1)! └─────┘ j个x_0 (ii) n > 0 时，可以找到 k 不等於 h 的两点 x_k, x_h, 由 (2) https://i.imgur.com/aRny5PA.png 以及 N = j-1 的假设， 计算 P_{0^{m_0},1^{m_1},...,n^{m_n}}(x) 的首项系数。 https://i.imgur.com/cry7zcz.png 由数学归纳法， P_{s_0,s_1,...,s_{N-1}}(x) 的首项系数是 f[x_0,...,x_i,..,x_i,...,x_n]. └────┘ m_i个x_i □ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 123.192.240.6 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1692710174.A.8E5.html ※ 编辑: PPguest (123.192.240.6 台湾), 08/22/2023 21:31:46 跟你理解的不一样。 1.这篇均差的定义我没特别讲，但跟你讲的一样，预设是用均差的递回关系式 以及 定义好 F[x_0,....,x_0] 来定义的，只要 f 满足适当的条件，均差就会有那些性质。 └─────┘ m_0 个 x_0 2.整篇都假设已经证明 存在唯一的插值多项式， 第一个定理又假设已经知道 不同插值条件 插值多项式的首项系数， 来证明 p(x) = P(x). 第二个定理的(1)(2) 是证明 高阶导数版本的 Neville's algorithm, 也就是插值多项式的递回关系式。 (3)则是证明 第一个定理假设的 首项系数。 3.两个定理我故意顺序倒过来。 原本我有把「已知 唯一性...不同条件下插值多项式的首项系数」写进定理里面， 但越想越奇怪，一般定理好像都不会把一些已知的性质放进定理里面，所以才拿掉。 看起来顺序倒过来的情况下，把首项系数的假设加进第一个定理的叙述会比较好。 我就补上去。 4.第二个定理 (3) 的证明补上 n=0 的情况。 ※ 编辑: PPguest (123.192.240.6 台湾), 08/23/2023 12:08:22 把第二个定理 (3) 的证明写清楚一点。 ※ 编辑: PPguest (123.192.240.6 台湾), 08/23/2023 16:06:40 这个我之前有在定理叙述补上。 假设 次数至多 J-1 次、唯一、满足插值条件： y_0, y_1,..., y_j 是 j+1 个不同的点， r_i 为 y_i 重复出现的次数(正整数)，J = Σ_{k=0到j} r_k, 对 i = 0,1,...,j 以及 所有 m 满足 0 ≦ m ≦ r_i -1 都有 q^(m)(y_i) = f^(m)(y_i), 的插值多项式 其首项系数为 f[y_0,...,y_i,..,y_i,...,y_j]. └────┘ r_i个y_i 以下面这张图红线的走法为例， https://i.imgur.com/I5iV7U8.jpg 在第一个定理的证明，我至少需要 满足 p(0) = 1, p'(0) = 0, 至多一次的插值多项式 的首项系数、 满足 p(0) = 1, p'(0) = 0, p''(0) = 0, 至多二次的插值多项式 的首项系数、 满足 p(-1) = 2, p(0) = 1, p'(0) = 0, p''(0) = 0, 至多三次的插值多项式的首项系数、 满足 p(-1) = 2, p(0) = 1, p'(0) = 0, p''(0) = 0, p(1) = 2, 至多四次的插值多项式的首项系数、 满足 p(-1) = 2, p(0) = 1, p'(0) = 0, p''(0) = 0, p(1) = 2, p'(1) = 8, 至多五次的插值多项式的首项系数、 满足 p(-1) = 2, p(0) = 1, p'(0) = 0, p''(0) = 0, p(1) = 2, p'(1) = 8, p''(1) = 56, 至多六次的插值多项式的首项系数、 满足 p(-1) = 2, p'(-1) = -8, p(0) = 1, p'(0) = 0, p''(0) = 0, p(1) = 2, p'(1) = 8, p''(1) = 56, 至多七次的插值多项式的首项系数、 满足 p(-1) = 2, p'(-1) = -8, p''(-1) = 56, p(0) = 1, p'(0) = 0, p''(0) = 0, p(1) = 2, p'(1) = 8, p''(1) = 56, 至多八次的插值多项式的首项系数。 ※ 编辑: PPguest (123.192.240.6 台湾), 08/24/2023 20:25:45