作者deathcustom (Full House)
看板Math
标题Re: [机统] 规则区域，递回求机率?
时间Tue Aug 8 13:27:13 2023
※ 引述《shingai (吸收正能量)》之铭言：
: https://imgur.com/a/qi5hMO6
: 如图，
: 分享一下我的作法，但觉得怪怪的找不到问题
: 令A点到中止(碰到K1~K8)的机率为x,由对称可设B,E,D中止机率亦为x;
: 令C点中止机率为y
: 由各点的degree可列出式: x=3/4+y/4; y=4*(x/4) 解得x=y=1 (?!?!就有点怪怪的)
: 然而题目是问从A至K5的机率，是由均匀原则除以8得到答案:1/8 ?(补充:这题我没答案)
: 先谢谢愿意分享的高手了~
直观的方法
先考虑从C出发进行两次移动
到顶点(K1,K3,K5,K7)的机率均为(连续两次同向移动)(1/4)^2 = 1/16
回到C点的机率为4*(1/4)^2 (往复移动*4个方向)=1/4
剩下的机率 = 1-4/16-1/4 = 1/2 平均分配给四个剩余的K点
P0(Kn,C) = 1/16 (n odd)| 1/8 (n even)
考虑进行无穷次
P_inf(Kn) = P0(Kn,C) + P0(C,C)*P0(Kn,C)+...=P0(Kn,C)*4/3
(无穷级数求和)
所以机率分布是：
P_inf(Kn) = 1/12 (n odd)| 1/6 (n even)
P(K5,A) = P(C,A)*P_inf(K5) = 1/4*1/12 = 1/48
P(K1,A) = 1/4+1/4*P_inf(K1) = 1/4+1/48 = 13/48
P(K2,A) = P(K8,A) = 1/4+1/4*P_inf(K2) = 1/4+1/24 = 7/24
P(K3,A) = P(K5,A) = P(K7,A) = 1/48
P(K4,A) = P(K6,A) = 1/24#
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