想请问如何证明下面wiki连结的step by step造出来的多项式确实符合内插条件 https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_interpolation#General_case -------------------------------------------------------------------------- 以下是我的观察跟讨论: 首先谢谢板友们在我问Lagrange函数极限退化那边提供的意见 也如Vulpix所述我的极限退化就相当於Hermite内插 因此今天阅读了Hermite内插相关资料後, 我发现: 只有告诉你怎麽找(Newton form + 相同点当成相异点取极限) 没有告诉你怎麽证这样找的多项式就我们要的 也就是说, 在找法上使用了不同点的内插多项式的极限退化 但是并没有证明退化後的多项式确实会满足条件 接着开始用实例说明, 因为Hermite内插的general case难写, 我用二次多项式通过三个点然後极限退化成一个点举例: 假设x_0,x_1,x_2两两相异, 想要找二次多项式p(x)通过(x_i,f(x_i)), i=0~2 接着用Newton form可以得到:(f[]是wiki中divided difference的记号) p(x) = f[x_0] + f[x_0,x_1]*(x-x_0) + f[x_0,x_1,x_2]*(x-x_0)*(x-x_1) 因为接着要对x_1,x_2取极限到x_0, 因此把变数x_1,x_2特别写出令成q 即: q(x,x_1,x_2):=p(x), 然後要考虑lim_{x_1,x_2→x_0, 三者相异} q(x,x_1,x_2) 先假设这个极限存在, 令为L(x) 在f微分条件够好的情况下, 我们可以证得: L(x) = f(x_0) + f'(x_0)*(x-x_0) + (1/2)*f''(x_0)*(x-x_0)^2 (刚好在我这个举例就是极限退化成Taylor多项式) 问题来了: 我怎麽知道L(x)这个多项式会满足: (1) L(x_0) =f(x_0) (2) L'(x_0) =f'(x_0) (3) L''(x_0)=f''(x_0) 当然在这个简单的例子可以直接对L进行检查, 也当然符合 我用这个例子跑一遍推导的用意是在於, 从刚刚的推导我们只有: (a) q(x,x_1,x_2) = p(x)且满足p(x_0)=f(x_0) p(x_1)=f(x_1) p(x_2)=f(x_2) (b) lim_{x_1,x_2→x_0, 三者相异} q(x,x_1,x_2) = L(x) 原本我希望的是(a)+(b)就能证明出(1)~(3), 那我就不会上来问了XD 但是自己试了一下, 因为(b)对於所有x都成立, 所以我尝试逐一代入x=x_i看极限 (顺带提一下, L(x)的收敛目前只有逐点收敛, 要证明均匀收敛才能让x=x_1,x_2 这两个case也可以跑极限, 不过目前先当作well-behaved) 结果不管怎样x=x_i都是得到L(x_0) = f(x_0)而已.... ----------------------------------------------------------------- 总之, 在函数f的微分条件够好的情况下, 不同点的多项式内插的极限退化就是Hermite内插演算法找的多项式 今天我的问题在於如何证明这个多项式会满足我们设定的内插条件 (如果能写出这个演算法的explict form或是递回式然後直接硬爆检验, 也欢迎!) 谢谢解惑~ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 59.102.225.191 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1691180238.A.7D3.html 谢谢P大资讯! 我再去找找~ 嗨c大, 你说"想像P是正确的多项式，而且你的差值法是用P(x)去写的"这句是什麽意思? 如果P(x)是满足微分条件的多项式, 目前不存在差值法, 只知道存在唯一这样的P 而想证的就是 差值法加上微分所找到的L(x)就是P(x) 我有误解你的意思吗? 我有点搞混, 整理一下符号: P(x) 是存在唯一并满足微分条件的二次多项式, 即P(x_0) = f(x_0) P'(x_0) = f'(x_0) P''(x_0) = f''(x_0) p(x) = f[x_0] + f[x_0,x_1]*(x-x_0) + f[x_0,x_1,x_2]*(x-x_0)*(x-x_1) L(x) = lim_{x_1,x_2→x_0} p(x) 今天我们知道p(x)会满足p(x_0) = f(x_0), p(x_1) = f(x_1), p(x_2) = f(x_2) c大是用什麽脉络去证明出P=L的? ※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 08/06/2023 18:38:16