作者Honor1984 (奈何上天造化弄人？)
看板Math
标题Re: [中学] 一题三角函数
时间Sun Jul 9 12:10:58 2023
※ 引述《Crissangel (大家都叫我韩)》之铭言：
: 要证明
: 在0<x<π/2时
: x-(1/2)*x^3<sinx<x
: sinx<x的部分没问题
: 想请教的是前半部分的不等式
: 应该怎麽从单位圆内部的长度or面积来想
: 感谢各位
假设在你已知道sin(x) < x的情况下的图解作法：
设单位圆交+x轴於A，和+x轴夹角度x的射线交单位圆於B
做过A的切线、过B的切线，两者交於C
OC交AB弧於D
弓形ABD = (1/2)x - (1/2)sin(x)
△ABC = (1/2)tan(x/2)[2sin(x/2)sin(x/2)]
在0 < x <π/2时，由弓形ABD < △ABC
=> x - sin(x) < tan(x/2)[2sin(x/2)sin(x/2)] < (2√2)(x/2)^3 < (1/2)x^3
=> x - (1/2)x^3 < sin(x)
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