前面讨论单位正交基底组的旋转等变换的概念，目的在於要找 出拆解线性转换和方程组求解问题，使问题变得更简单。 概念上就是把单位基底组的投影和和坐标系的概念结合之後， 可以从另外的角度理解线性转换，而且可以简化线性方程组求解 。 不过上面那种拆解仅限於线性问题，非线性问题要怎麽拆解? 以下先讨论线性状况。 线性转换可理解(或分解)为把自变数向量投影到新座标系之後 乘後某个纯量作放大或缩小。 线性方程式求解，可以透过把该方程组投影到其系统方阵或矩 阵的(左方)单位正交基底组成的坐标系，把方程组初步化简。然 後引入把自变数投影到系统方阵或矩阵的(右方)单位正交基底组 成的坐标系得到很简单的方程组求解。最後把相关的变数反向投 影就得到原来的解。 以下讨论上面所述具体细节；先看线性转换，再看线性方程组 求解。同样都是先看有限维度的向量空间，再扩张到无限维度的 函数空间。 一、线性转换 y =f(A, x) = A*x 满足 f(x1+x2) = f(x1)+f(x2), f(c*x) = c*f(x) (一) A = V*D*V', V'*V = I V = [v1, v2, ..., vN]; vn'*vn = 1, n = 1 to N 此时 y = f(A, x) = A*x = sum( dn*vn*xn, n = 1 to N) = V*D*V'*x 亦即 V'*y = D*V'*x <=> py = D*px, py = V'*y and px = V'*x 换言之，以上的线性转换 y = A*x 可以理解为把向量 x 转换为向量 y 或者可理解为，该线性转换乃把向量 x 投影到 V 为基底向量组成的 新座标系上面，然後把每个投影分量乘上某个常数做缩放。经过缩放 的新向量 (D*px) 对应到同样以 V 为基底的另一个向量，而这个向量 则是向量 y 投影到 V 为基底向量组成的新座标系上面的那个向量。 (二) A = U*S*V', V'*V = I, U'*U = I 同样可做如同(一)的理解，只是投影前後的向量基底集合不同，分别是 V 和 U。 另一个与(一)不同之点在於，此时 A 可为矩阵，亦即线性转换可在不同 维度的两个空间进行。 (三) 无限维度 概念同上，但因为这时候是一个向量函数是无限多分量函数的相加，所以 必须对线性转换做限制，例如 norm(A) < inf or norm(A) = sqrt(A'*A) < inf 二、线性方程组 A*x-b = 0 求解 (一) A = V*D*V', V'*V = I V'*( A*x - b) = V'*A*x-V'b = V'*(V*D*V')*x-V'*b = D*V'x-V'*b = D*py-pb, pb = V'*b 亦即，原本的线性方程组可以在乘上 V' 之後，转换成比较简单的型式 D*py-pb = 0 解完这个简单的线性方程组後，把投影或转换後的变数还原，就可以得 到原来方程式的解。 (二) A = U*S*V', V'*V = I, U'*U = I U'*( A*x-b ) = U'*A*x-U'*b = U'*(U*S*V')*x-U'*b = S*V'*x-U'*b = S*py-pb, pb = U'*b 概念上也是把原方程组投影後化简求解，再反向投影(或转换)後得原方程 组的解。 (三) 无限维度 概念相同，线性方程组的系统方阵或矩阵必须有限制。 --

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